Determinação de Áreas Irregulares pela Soma de Riemann
28 set 2017, 23:47
A figura do anexo é uma captura de tela de um mapa Google do Lago Superior. É sobreposto a uma grade quadrada azul escuro com linhas de grade vermelhas a cada 100 quilômetros.
Qual é a estimativa da área do lago acima do eixo x (de x=100 km até x=600 km) usando uma partição uniforme de 05 retângulos?
Obrigado!
Carlos
Qual é a estimativa da área do lago acima do eixo x (de x=100 km até x=600 km) usando uma partição uniforme de 05 retângulos?
Obrigado!
Carlos
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Re: Determinação de Áreas Irregulares pela Soma de Riemann
29 set 2017, 00:52
Obrigado por quê? Se quiser ajuda, explique, por que é que não consegue resolver o problema, que eu não consigo adivinhar quais dificuldades tem.
Re: Determinação de Áreas Irregulares pela Soma de Riemann
29 set 2017, 15:05
Como determino as alturas dos retângulos?
Esta tem sido minha dificuldade com esse tipo de problema.
Esta tem sido minha dificuldade com esse tipo de problema.
Re: Determinação de Áreas Irregulares pela Soma de Riemann
29 set 2017, 15:43
Está bem.
Diga, se faz favor, qual é a interpretação geométrica da integral? Ou seja, qual é a relação entre a integral e a área?
Diga, se faz favor, qual é a interpretação geométrica da integral? Ou seja, qual é a relação entre a integral e a área?
Re: Determinação de Áreas Irregulares pela Soma de Riemann
29 set 2017, 18:18
A interpretação geométrica da integral se dá pelo conceito da Integral Definida, cujo valor é a área sob uma dada curva.
A determinação desta área pode ser realizada por meio da divisão do intervalo total por n subintervalos. Cada um desses subintervalos representa uma mudança em x \(\left ( \Delta x_{1}...\Delta x_{n} \right )\).
Em seguida constrói-se n retângulos, tais que a altura de cada um seja igual ao valor mais alto alcançado pela função, o que ocorre no limite esquerdo de cada retângulo. O primeiro retângulo possui altura \(f(x_{1})\) e largura \(\Delta x_{1}\), e assim por diante.
A área sob a curve fica \(A=\sum_{i}^{n}f(x_{1})\Delta x_{i}\).
A definição não é difícil, o problema é a prática em casos de exercícios como este abaixo, onde não referência numérica no eixo y.
A determinação desta área pode ser realizada por meio da divisão do intervalo total por n subintervalos. Cada um desses subintervalos representa uma mudança em x \(\left ( \Delta x_{1}...\Delta x_{n} \right )\).
Em seguida constrói-se n retângulos, tais que a altura de cada um seja igual ao valor mais alto alcançado pela função, o que ocorre no limite esquerdo de cada retângulo. O primeiro retângulo possui altura \(f(x_{1})\) e largura \(\Delta x_{1}\), e assim por diante.
A área sob a curve fica \(A=\sum_{i}^{n}f(x_{1})\Delta x_{i}\).
A definição não é difícil, o problema é a prática em casos de exercícios como este abaixo, onde não referência numérica no eixo y.
Re: Determinação de Áreas Irregulares pela Soma de Riemann [resolvida]
29 set 2017, 19:06
Isso é:
1) a área é igual à integral;
2) a integral é o limite das somas de Riemann, ou seja, cada soma de Riemann é uma aproximação da integral;
3) portanto a área é aproximadamente igual a uma soma de Riemann.
Então o nosso intento é calcular uma soma de Riemann. Está a ver? Só se trata da definição da integral definida e da sua interpretação geométrica.
Ora o que é uma soma de Riemann? Seja f uma função definida num segmento [a, b]. Seja \(a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b\) uma partição do segmento e seja \(\xi_i\) um ponto arbitrário no i-ésimo segmento \([x_{i-1}, x_i]\). Então a soma de Riemann de f correspondente à partição e à escolha dos pontos \(\xi_i\) é
\(\sum_{i = 1}^{N} f(\xi_i) (x_i - x_{i - 1})\)
É quase a mesma coisa que você escreveu acerca da área, só que também contem os pontos arbitrários. (Na verdade, o que Riemann fez foi só introduzir este ponto arbitrário, que Cauchy já tinha utilizado somas deste tipo para definir a integral, tomando um ponto extremo do segmento \([x_{i-1}, x_i]\) como \(\xi_i\).)
Portanto, \(f(\xi_i)\) pode ser qualquer valor de f no correspondente subintervalo. Por exemplo, é óbvio que algures no segmento [100, 200] f atinge o valor 30. Então, pode-se tomar \(f(\xi_1) = 30\).
1) a área é igual à integral;
2) a integral é o limite das somas de Riemann, ou seja, cada soma de Riemann é uma aproximação da integral;
3) portanto a área é aproximadamente igual a uma soma de Riemann.
Então o nosso intento é calcular uma soma de Riemann. Está a ver? Só se trata da definição da integral definida e da sua interpretação geométrica.
Ora o que é uma soma de Riemann? Seja f uma função definida num segmento [a, b]. Seja \(a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b\) uma partição do segmento e seja \(\xi_i\) um ponto arbitrário no i-ésimo segmento \([x_{i-1}, x_i]\). Então a soma de Riemann de f correspondente à partição e à escolha dos pontos \(\xi_i\) é
\(\sum_{i = 1}^{N} f(\xi_i) (x_i - x_{i - 1})\)
É quase a mesma coisa que você escreveu acerca da área, só que também contem os pontos arbitrários. (Na verdade, o que Riemann fez foi só introduzir este ponto arbitrário, que Cauchy já tinha utilizado somas deste tipo para definir a integral, tomando um ponto extremo do segmento \([x_{i-1}, x_i]\) como \(\xi_i\).)
Portanto, \(f(\xi_i)\) pode ser qualquer valor de f no correspondente subintervalo. Por exemplo, é óbvio que algures no segmento [100, 200] f atinge o valor 30. Então, pode-se tomar \(f(\xi_1) = 30\).