(integrais) sabendo que a função f satisfaz a igualdade

[darthvini]

sabendo que a função f satisfaz a igualdade

\(\int_{0}^{x}f(t)=(sen(x)-xcos(x)-\frac{1}{2}x^2+c)\)

Determine \(f(\pi /4)\)

[jorgeluis]

darthvini,
como se trata de uma integral definida, teremos como resultado um número e não uma família de funções.

se a função integrando \(f\) está definida no intervalo \([0,\frac{\pi}{4}]\), então, uma primitiva da função \(f\) (antiderivada) é uma função \(F\), definida no mesmo intervalo, tal que, \({F}'(x)=f(x),:: \forall x\in [0,\frac{\pi}{4}]\)

como a integral definida fornece a função integrando \(f\):
\(f(x)=\left ( senx-xcosx+\frac{1}{2}x^2+C \right )\)
então, basta, fazer a antiderivada da função trigonométrica nos extremos do intervalo:
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}f(t)={F}'(\frac{\pi}{4})-{F}'(0)\)
\({F}'(\frac{\pi}{4})=cos {\frac{\pi}{4}}-\left (cos {\frac{\pi}{4}}-{\frac{\pi}{4}}.sen \frac{\pi}{4}\right )-\frac{\pi}{4}
{F}'(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}.sen \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}
{F}'(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}.\left (\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right )
e,
{F}'(0)=cos{0}-(cos{0}-{0}sen{0})-{0}
{F}'(0)=1-(1-{0})
{F}'(0)=0\)

como,
\({F}'(x)=f(x)\)
então,
\(f(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}\left (\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right )\)

[PierreQuadrado]

O modo mais simples é usar o Teorema fundamental do cálculo... Confesso que desisti de seguir a resolução do Jorgeluis mas independentemente de chegar ao resultado correto, tem algumas afirmações definitivamente erradas.

\(\int_0^xf(t)dt = \sin x - x \cos x - \frac 12 x^2 + C \Rightarrow
\left(\int_0^xf(t)dt \right)' = (\sin x - x \cos x - \frac 12 x^2 + C)' \Rightarrow
f(x)= \cos x - \cos x + x \sin x -x \Rightarrow
f(\pi/4)= \frac{\pi}{4} \frac{\sqrt{2}}{2}- \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}(\frac{\sqrt{2}}{2}-1)\)