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Dada a desigualdade, verificar:

b³/3-b³/n<A<b³/3+b³/n

Para todo n>=1. Existem, então, unicamente três possibilidades:

A>b³/3, A<b³/3, A=b³/3

Se provarmos que as duas primeiras conduzem a contradições, então necessariamente terá que ser A=b³/3.

Suponhamos que a desigualdade A>b³/3 era verdadeira. Da segunda desigualdade em b³/3-b³/n<A<b³/3+b³/n obtém-se

A-b³/3<b³/n

para todo o inteiro n>=1. Uma vez que A-b³/3 é positivo, podemos dividir ambos os membros de A-b³/3<b³/n por
A-b³/3 e multiplicar por n para obter a desigualdade

n<b³/(A-b³/3)

para todo n já referido. Mas esta desigualdade é evidentemente falsa para n>=b³/A-b³/3. Portanto a desigualdade A>b³/3 conduz a uma contradição.
De maneira análoga se pode provar que A<b³/3 conduz a uma contradição e por conseguinte A=b³/3.

Minha dúvida é por qual motivo essa desigualdade é falsa para n>=b³/A-b³/3?

Diego, poderia colocar o enunciado original? é importante perceber o que deve ser usado como hipótese. Repare que se admitir a desigualdade inicial, \(\frac{b^3}{3} - \frac{b^3}{n} < A < ]\frac{b^3}{3} +\frac{b^3}{n}\), o teorema das sucessões enquadradas permite obter imediatamente que \(A=\frac{b^3}{3}\), já que \(\lim (\frac{b^3}{3} - \frac{b^3}{n}) =\lim(\frac{b^3}{3} + \frac{b^3}{n}) = \frac{b^3}{3}\).

Em qualquer caso, a afirmação de que \(n < \frac{b^3}{A-\frac{b^3}{3}}\) para todo o \(n\ge 1\) é obviamente falsa... Se a afirmação fosse verdadeira não existiriam números naturais maiores que \(\frac{b^3}{A-\frac{b^3}{3}}\), daí ser referido que a afirmação é falsa para qualquer \(n \ge \frac{b^3}{A-\frac{b^3}{3}}\).