Calcular Integral ∫ 2 t. sec-¹(t)dt metodo de integração por partes

[liviatoniolo222]

∫ 2 t. sec-¹(t)dt
2√3

Fiz a integração usando ∫udv= u.v -∫vdu

e cheguei a ∫\(\int t\sec ^{-1}(t)dt= sec^{-1} (t)\cdot\frac{t}{2}^{^{2}} -\int \frac{t}{2}^{^{2}}\cdot \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}\)

depois disso eu não soube mais o que fazer, meu professor disse que eu teria que achar a identidade trigonométrica usando \(\sin ^{^{^{2}}}x+ \cos ^{^{2}}x=1\) e fazer com que t seja igual a sen (u) mas eu não entendi como e nem porquê eu devo fazer isso

Anexos

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[PierreQuadrado]

Não é verdade que tenha \(\frac{du}{dt}=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}\)… Está a confundir \(\sec^{-1}\) com \(sin^{-1}\)
...

[PierreQuadrado]

\(\int t \cdot \textrm{arcsec} (t) dt = \frac{t^2}{2} \cdot \textrm{arcsec}(t) - \int \frac{t^2}{2}\cdot \frac{1}{t^2 \sqrt{1- 1/t^2}} = \frac{t^2}{2} \cdot \textrm{arcsec}(t) - \frac 12 \int \frac{1}{\sqrt{1- 1/t^2}}\)

A primitiva que falta calcular é imediata… não percebo a sugestão do seu professor.

[liviatoniolo222]

Não é verdade que tenha \(\frac{1}{\sqrt{1-t^2}\)… Está a confundir \(\sec^{-1}\) com \(sin^{-1}\)
...

Não é isso?
Eu dei uma olhada na tabela e o que eu vi foi \(\frac{du}{dt} \sec ^{-1}= \frac{1}{|x|\sqrt{1-t^{2}}}\) mas quando perguntei pro professor ele me disse que poderia usar sem o módulo de x. Estaria ele errado?
acho que fiquei mais confusa

[liviatoniolo222]

Não é verdade que tenha \(\frac{1}{\sqrt{1-t^2}\)… Está a confundir \(\sec^{-1}\) com \(sin^{-1}\)
...

Não é isso?
Eu dei uma olhada na tabela e o que eu vi foi \(\frac{du}{dt} \sec ^{-1}= \frac{1}{|x|\sqrt{1-x^{2}}}\) mas quando perguntei pro professor ele me disse que poderia usar sem o módulo de x. Estaria ele errado?
acho que fiquei mais confusa

[PierreQuadrado]

O domínio da função é constituído por duas componentes conexas, \(]-\infty, -1]\) e \([1, +\infty[\). Se não distinguir os casos em que x é positivo ou negativo não vai estar a obter todas as primitivas da função, na medida que diferentes primitivas diferem por constantes, que podem ser diferentes em cada componente conexa do domínio.

\(\frac{d}{dt} \sec^{-1} (t) = \dfrac{1}{t^2 \sqrt{1-1/t^2}} = \dfrac{1}{\frac{t^2}{|t|} \sqrt{t^2-1}}=\dfrac{1}{|t|\sqrt{t^2-1}\).


Para melhor perceber qual o domínio da função e como calcular a sua derivada, pode obter uma expressão alternativa…


\(y = \sec^{-1}x \Leftrightarrow \sec y = x \Leftrightarrow \frac{1}{\cos y} = x \Leftrightarrow y = \arccos (1/x)\)

Deste modo, \(\sec^-1}(t)= \arccos(1/t)\)...

[liviatoniolo222]

Conversando com outro professor, ele me sugeriu esse método. 7
Estaria correto?

Anexos

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[PierreQuadrado]

Quando se escreve \(\sec^{-1} t\) em geral referimo-nos à função inversa da secante… \(\sec^{-1} t\) e \(\frac{1}{\sec (t)}\) não é a mesma coisa!