Regra de Leibniz numa prova

[eohyn]

Boa tarde,

Não estou a conseguir resolver o seguinte exercício, em que pede para utilizar a regra de Leibniz. Certamente é alguma nabice minha... qualquer ajuda é bem vinda!

“Use a regra de Leibniz para mostra que \(\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\left(a\cos^2x+b\sin^2x\right)^2}ex=\frac{\pi}{4\sqrt{ab}}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\).
Onde \(a,b>0\). Sugestão: Considere o integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2}dx\)”

Muito obrigado!

[Rui Carpentier]

Sugestões:
1º Passo: Mostre que \(\frac{1}{\left(a\cos^2x+b\sin^2x\right)^2 }= -\frac{d}{da}\left(\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2x}\right)-\frac{d}{db}\left(\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2x}\right)\). (exercício)
Logo \(\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\left(a\cos^2x+b\sin^2x\right)^2}dx=-\frac{d}{da}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2x}dx-\frac{d}{db}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2x}dx\) (pela regra de Leibniz).
2º Passo: Mostre que \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2x}dx = \frac{\pi}{2\sqrt{ab}}\) (exercício). Sugestão: \(\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2x}=\frac{1}{\sqrt{ab}}\frac{\left(\sqrt{b/a}\mbox{tg}x\right)'}{1+\left(\sqrt{b/a}\mbox{tg}x\right)^2}\).
3º Passo: Conclua o exercício.

[eohyn]

Boa noite,

Antes de mais, muito obrigado pela ajuda! Essencialmente, só precisava mesmo do primeiro passo, a partir daí era fácil...

No entanto, penso que aí nas contas falta um \(-\dfrac{1}{2}\) em evidência no primeiro passo...