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Obter função dada area de interceção do circulo e parabola https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=14149 |
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Autor: | MaoMorta [ 20 abr 2019, 19:06 ] | ||
Título da Pergunta: | Obter função dada area de interceção do circulo e parabola | ||
Integrando e intersectando é possível encontrar as equações das funções? Tenho dificuldade, após integração, em resolver a equação resultante respeitante a uma variável.
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Autor: | MaoMorta [ 15 jun 2019, 21:33 ] | ||
Título da Pergunta: | Re: Obter função dada area de interceção do circulo e parabola | ||
Creio que consegui encontrar a solução com ajuda de uma diagonal.
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Autor: | MaoMorta [ 16 jun 2019, 00:25 ] |
Título da Pergunta: | Re: Obter função dada area de interceção do circulo e parabola |
Defino as funções seguintes: Area \(= 2\) \(h(x)=x\) \(f(x)=a(x^2+mx)\) \(g(x)=sqrt(m^2-x^2)\) \(h(x)=f(x)\) \(x=ax^2+amx\) Obtenho : \(x=0\) e \(y=0\rightarrow P(0,0)\) \(x=\frac{(1-ma)}{a}\) e \(y=\frac{(1-ma)}{a}\rightarrow P(\frac{(1-am)}{a},\frac{(1-am)}{a})\) Utilizando: \(m^2=x^2+y^2\) \(m^2=\left(\frac{(1-am)}{a})^2+(\frac{(1-am)}{a}\right)^2\) Obtenho : \(am=2+\sqrt{2}\) ou \(am=2-\sqrt{2}\) ou \(m=\frac{2-\sqrt{2}}{a}\) Utilizando estas duas soluções temos 4 pontos, um em cada quadrante, cabendo ao IºQ a solução : \(am=2-\sqrt{2}\) Isto é: \(P\left(\frac{1-(2-\sqrt{2})}{a},\frac{1-(2-\sqrt{2})}{a}\right)\rightarrow P\left(\frac{-1+\sqrt{2}}{a},\frac{-1+\sqrt{2}}{a}\right)\) inserindo-se, assim, no IºQ (obviamente que a>0) Redefinindo as funções: \(h(x)=x\) \(f(x)=ax^2+(2-sqrt{2})x\) \(g(x)=sqrt{\left(\frac{2-sqrt{2}}{a}\right)^2-x^2}\) Partindo destas funções, tentamos… \(F(x)=\frac{a}{3}x^3+\frac{2-\sqrt{2}}{2}x^2\) \(G(x)=\frac{1}{2}\left[\frac{x}{a}\sqrt{(2-\sqrt{2})^2-x^2}+(\frac{2-\sqrt{2}}{a})^2\arcsin(\frac{ax}{2-\sqrt{2}})\right]\) Area \(=2\) \(2=\int_{\frac{-2+\sqrt{2}}{a}}^{\frac{-1+\sqrt{2}}{a}} f (x) dx-\int_{0}^{\frac{-1+\sqrt{2}}{a}} g (x) dx\) Obtemos para : \(F(0)=0\) \(F(\frac{-1+\sqrt{2}}{a})=\frac{0.07394180232}{a^2}\) \(G(\frac{-2+\sqrt{2}}{a})=-\frac{0.26950604223}{a^2}\) \(G(\frac{-1+\sqrt{2}}{a})=\frac{0.22053945874}{a^2}\) Resultando num valor de \(a=0.45612701008\) Portanto, \(f(x)=0.45612701008x^2+0.58578643763x\) \(g(x)=sqrt{0.34314575051-x^2}\) Penso que estará certo! |
Autor: | Rui Carpentier [ 22 jun 2019, 20:17 ] |
Título da Pergunta: | Re: Obter função dada area de interceção do circulo e parabola |
MaoMorta Escreveu: Defino as funções seguintes: Area \(= 2\) \(h(x)=x\) \(f(x)=a(x^2+mx)\) \(g(x)=sqrt(m^2-x^2)\) ------------- \(\bf{h(x)=f(x)}\) ------------ \(x=ax^2+amx\) (...) Confesso que não estou a ver porque razão a diagonal \(y=x\) terá de intersectar os gráficos das funções \(f\) e \(g\) no mesmo ponto. |
Autor: | MaoMorta [ 23 jun 2019, 14:52 ] |
Título da Pergunta: | Re: Obter função dada area de interceção do circulo e parabola |
olá, primeiramente obrigado por ver este item do fórum. Ainda bem que pega nesse ponto, pois para mim foi o mais critico porque teria que resolver "à mão" a equação que dai resulta ( já a obteve?). Se me quiser mostrar esses passos para a resolução das variáveis "à mão" eu aguardo, ansiosamente. Como "encalhei" nesse obstáculo de difícil resolução, o que fiz foi obter, por essa diagonal (+ 1 atalho matemáticamente), a dstância/raio ao semi circulo. Claro que a ajuda de programas/softwares e calculadoras encurta a resolução. Cumps. |
Autor: | MaoMorta [ 23 jun 2019, 15:11 ] |
Título da Pergunta: | Re: Obter função dada area de interceção do circulo e parabola |
Antes tinha : \(h(x)=a \cdot x\) \(f(x)=b \cdot (x^2-mx)\) \(g(x)=\sqrt{m^1-x^2}\) e até mesmo \(g(x)=c \cdot \sqrt{m^1-x^2}\) Mas fui eliminando as possibilidades que não fossem de resolução "à mão" uma vez que, no enunciado, não se definem as equações. Ora, tentar resolver: \(h(x)=a \cdot x\) \(f(x)=b \cdot (x^2 - mx)\) \(h(x)=f(x)\), não é fácil, depois, calcular as áreas introduzindo esse resultado! Cumps. |
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