Obter função dada area de interceção do circulo e parabola
20 abr 2019, 19:06
Integrando e intersectando é possível encontrar as equações das funções? Tenho dificuldade, após integração, em resolver a equação resultante respeitante a uma variável.
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Re: Obter função dada area de interceção do circulo e parabola
15 jun 2019, 14:39
Simplifico o gráfico, penso que os procedimentos também se mantêm neste caso.
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Re: Obter função dada area de interceção do circulo e parabola
15 jun 2019, 21:33
Creio que consegui encontrar a solução com ajuda de uma diagonal.
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Re: Obter função dada area de interceção do circulo e parabola
16 jun 2019, 00:25
Defino as funções seguintes:
Area \(= 2\)
\(h(x)=x\)
\(f(x)=a(x^2+mx)\)
\(g(x)=sqrt(m^2-x^2)\)
\(h(x)=f(x)\)
\(x=ax^2+amx\)
Obtenho :
\(x=0\) e \(y=0\rightarrow P(0,0)\)
\(x=\frac{(1-ma)}{a}\) e \(y=\frac{(1-ma)}{a}\rightarrow P(\frac{(1-am)}{a},\frac{(1-am)}{a})\)
Utilizando:
\(m^2=x^2+y^2\)
\(m^2=\left(\frac{(1-am)}{a})^2+(\frac{(1-am)}{a}\right)^2\)
Obtenho :
\(am=2+\sqrt{2}\) ou \(am=2-\sqrt{2}\) ou \(m=\frac{2-\sqrt{2}}{a}\)
Utilizando estas duas soluções temos 4 pontos, um em cada quadrante, cabendo ao IºQ a solução : \(am=2-\sqrt{2}\)
Isto é:
\(P\left(\frac{1-(2-\sqrt{2})}{a},\frac{1-(2-\sqrt{2})}{a}\right)\rightarrow P\left(\frac{-1+\sqrt{2}}{a},\frac{-1+\sqrt{2}}{a}\right)\) inserindo-se, assim, no IºQ (obviamente que a>0)
Redefinindo as funções:
\(h(x)=x\)
\(f(x)=ax^2+(2-sqrt{2})x\)
\(g(x)=sqrt{\left(\frac{2-sqrt{2}}{a}\right)^2-x^2}\)
Partindo destas funções, tentamos…
\(F(x)=\frac{a}{3}x^3+\frac{2-\sqrt{2}}{2}x^2\)
\(G(x)=\frac{1}{2}\left[\frac{x}{a}\sqrt{(2-\sqrt{2})^2-x^2}+(\frac{2-\sqrt{2}}{a})^2\arcsin(\frac{ax}{2-\sqrt{2}})\right]\)
Area \(=2\)
\(2=\int_{\frac{-2+\sqrt{2}}{a}}^{\frac{-1+\sqrt{2}}{a}} f (x) dx-\int_{0}^{\frac{-1+\sqrt{2}}{a}} g (x) dx\)
Obtemos para :
\(F(0)=0\)
\(F(\frac{-1+\sqrt{2}}{a})=\frac{0.07394180232}{a^2}\)
\(G(\frac{-2+\sqrt{2}}{a})=-\frac{0.26950604223}{a^2}\)
\(G(\frac{-1+\sqrt{2}}{a})=\frac{0.22053945874}{a^2}\)
Resultando num valor de \(a=0.45612701008\)
Portanto,
\(f(x)=0.45612701008x^2+0.58578643763x\)
\(g(x)=sqrt{0.34314575051-x^2}\)
Penso que estará certo!
Area \(= 2\)
\(h(x)=x\)
\(f(x)=a(x^2+mx)\)
\(g(x)=sqrt(m^2-x^2)\)
\(h(x)=f(x)\)
\(x=ax^2+amx\)
Obtenho :
\(x=0\) e \(y=0\rightarrow P(0,0)\)
\(x=\frac{(1-ma)}{a}\) e \(y=\frac{(1-ma)}{a}\rightarrow P(\frac{(1-am)}{a},\frac{(1-am)}{a})\)
Utilizando:
\(m^2=x^2+y^2\)
\(m^2=\left(\frac{(1-am)}{a})^2+(\frac{(1-am)}{a}\right)^2\)
Obtenho :
\(am=2+\sqrt{2}\) ou \(am=2-\sqrt{2}\) ou \(m=\frac{2-\sqrt{2}}{a}\)
Utilizando estas duas soluções temos 4 pontos, um em cada quadrante, cabendo ao IºQ a solução : \(am=2-\sqrt{2}\)
Isto é:
\(P\left(\frac{1-(2-\sqrt{2})}{a},\frac{1-(2-\sqrt{2})}{a}\right)\rightarrow P\left(\frac{-1+\sqrt{2}}{a},\frac{-1+\sqrt{2}}{a}\right)\) inserindo-se, assim, no IºQ (obviamente que a>0)
Redefinindo as funções:
\(h(x)=x\)
\(f(x)=ax^2+(2-sqrt{2})x\)
\(g(x)=sqrt{\left(\frac{2-sqrt{2}}{a}\right)^2-x^2}\)
Partindo destas funções, tentamos…
\(F(x)=\frac{a}{3}x^3+\frac{2-\sqrt{2}}{2}x^2\)
\(G(x)=\frac{1}{2}\left[\frac{x}{a}\sqrt{(2-\sqrt{2})^2-x^2}+(\frac{2-\sqrt{2}}{a})^2\arcsin(\frac{ax}{2-\sqrt{2}})\right]\)
Area \(=2\)
\(2=\int_{\frac{-2+\sqrt{2}}{a}}^{\frac{-1+\sqrt{2}}{a}} f (x) dx-\int_{0}^{\frac{-1+\sqrt{2}}{a}} g (x) dx\)
Obtemos para :
\(F(0)=0\)
\(F(\frac{-1+\sqrt{2}}{a})=\frac{0.07394180232}{a^2}\)
\(G(\frac{-2+\sqrt{2}}{a})=-\frac{0.26950604223}{a^2}\)
\(G(\frac{-1+\sqrt{2}}{a})=\frac{0.22053945874}{a^2}\)
Resultando num valor de \(a=0.45612701008\)
Portanto,
\(f(x)=0.45612701008x^2+0.58578643763x\)
\(g(x)=sqrt{0.34314575051-x^2}\)
Penso que estará certo!
Re: Obter função dada area de interceção do circulo e parabola
22 jun 2019, 20:17
MaoMorta Escreveu:Defino as funções seguintes:
Area \(= 2\)
\(h(x)=x\)
\(f(x)=a(x^2+mx)\)
\(g(x)=sqrt(m^2-x^2)\)
-------------
\(\bf{h(x)=f(x)}\)
------------
\(x=ax^2+amx\)
(...)
Confesso que não estou a ver porque razão a diagonal \(y=x\) terá de intersectar os gráficos das funções \(f\) e \(g\) no mesmo ponto.
Re: Obter função dada area de interceção do circulo e parabola
23 jun 2019, 14:52
olá,
primeiramente obrigado por ver este item do fórum.
Ainda bem que pega nesse ponto, pois para mim foi o mais critico porque teria que resolver "à mão" a equação que dai resulta ( já a obteve?). Se me quiser mostrar esses passos para a resolução das variáveis "à mão" eu aguardo, ansiosamente. Como "encalhei" nesse obstáculo de difícil resolução, o que fiz foi obter, por essa diagonal (+ 1 atalho matemáticamente), a dstância/raio ao semi circulo. Claro que a ajuda de programas/softwares e calculadoras encurta a resolução. Cumps.
primeiramente obrigado por ver este item do fórum.
Ainda bem que pega nesse ponto, pois para mim foi o mais critico porque teria que resolver "à mão" a equação que dai resulta ( já a obteve?). Se me quiser mostrar esses passos para a resolução das variáveis "à mão" eu aguardo, ansiosamente. Como "encalhei" nesse obstáculo de difícil resolução, o que fiz foi obter, por essa diagonal (+ 1 atalho matemáticamente), a dstância/raio ao semi circulo. Claro que a ajuda de programas/softwares e calculadoras encurta a resolução. Cumps.
Re: Obter função dada area de interceção do circulo e parabola
23 jun 2019, 15:11
Antes tinha :
\(h(x)=a \cdot x\)
\(f(x)=b \cdot (x^2-mx)\)
\(g(x)=\sqrt{m^1-x^2}\) e até mesmo \(g(x)=c \cdot \sqrt{m^1-x^2}\)
Mas fui eliminando as possibilidades que não fossem de resolução "à mão" uma vez que, no enunciado, não se definem as equações.
Ora, tentar resolver:
\(h(x)=a \cdot x\)
\(f(x)=b \cdot (x^2 - mx)\)
\(h(x)=f(x)\), não é fácil, depois, calcular as áreas introduzindo esse resultado!
Cumps.
\(h(x)=a \cdot x\)
\(f(x)=b \cdot (x^2-mx)\)
\(g(x)=\sqrt{m^1-x^2}\) e até mesmo \(g(x)=c \cdot \sqrt{m^1-x^2}\)
Mas fui eliminando as possibilidades que não fossem de resolução "à mão" uma vez que, no enunciado, não se definem as equações.
Ora, tentar resolver:
\(h(x)=a \cdot x\)
\(f(x)=b \cdot (x^2 - mx)\)
\(h(x)=f(x)\), não é fácil, depois, calcular as áreas introduzindo esse resultado!
Cumps.