Dúvida na resolução de integral indefinida

[julianoRodrigues]

Gostaria de auxílio na resolução da integral abaixo nos meus estudos para concurso, pois não encontro resposta semelhante ao gabarito inicial:

Gabarito D.

[jorgeluis]

juliano,
esta questão é um tanto quanto trabalhosa, por isso,
segue o link abaixo, tem um passo a passo pra você entender melhor a resolução:
https://pt.symbolab.com/solver/integral ... 20%7D%20dx

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Até que não é tão difícil não, jorgeluis. Uma substituição facilita, veja:
\(\int\;x\sqrt{5-x}\;\text{d}x\)
\(u=5-x\therefore \fbox{x=5-u}\)
\(\text{d}u=-\text{d}x\)
\(-\int\;(5-u)\sqrt{u}\;\text{d}u=-\int\;(5-u)\cdot u^{1/2}\;\text{d}u\)
\(-\int\;5u^{1/2}-u^{3/2}\;\text{d}u=-\left(\dfrac{5u^{3/2}}{3/2}-\dfrac{u^{5/2}}{5/2}\right)+C\)
\(\dfrac{2u^{5/2}}{5}-\dfrac{2\times 5u^{3/2}}{3}+C\)
\(\dfrac{2(5-x)^{5/2}}{5}-\dfrac{10(5-x)^{3/2}}{3}+C\)
\(\dfrac{6(5-x)^{5/2}-50(5-x)^{3/2}}{15}+C\)
\(2(5-x)^{3/2}\cdot\dfrac{3(5-x)-25}{15}+C\)
\(2(5-x)^{3/2}\cdot\dfrac{15-3x-25}{15}+C\)
\(-2(5-x)^{3/2}\cdot\dfrac{3x+10}{15}+C\)
\(\boxed{-\dfrac{2(5-x)^{3/2}(3x+10)}{15}+C}\)

Espero ter ajudado!

Editado pela última vez por Baltuilhe em 26 ago 2019, 20:02, num total de 1 vez.
Razão: Correção do Latex