Boas
Primeiro lembre-se que:
\(|x|=\begin{cases}
x, \ x\ge 0 \\
-x, \ x<0 \end{cases}\)
Ou seja
\(|x^2-2x|=\begin{cases}
x^2-2x, \ x^2-2x \ge 0
-x^2+2x, \ x^2-2x <0 \end{cases}\)
Interessa estudar então a seguinte função \(x^2-2x\)
Repare que \(x^2-2x=x(x-2)\) é uma parábola e tem zeros em \(x=0\) e \(x=2\) e tem a concavidade para cima, então é equivalente escrever:
\(|x^2-2x|=\begin{cases}
x^2-2x, \ x \le 0 \vee x \ge 2
-x^2+2x, \ c.c. \end{cases}\)
Como o integral é entre x=1 e x=2 é equivalente escrever
\(\int_{1}^{2}f(x)dx=\int_{1}^{2}\frac{x-1}{|x^2-2x|+1}dx=\int_{1}^{2}\frac{x-1}{-x^2+2x+1}dx\)
que é uma primitiva conhecida (funções racionais)
para um m>2 terá que fazer o integral por partes, uma parte entre 1 e 2 e outra parte entre 2 e m
Se tiver mais dúvidas apite
Saudações pitagóricas