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| Integral impropria https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=1954 |
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| Autor: | gustavo.rotondo [ 06 mar 2013, 18:05 ] |
| Título da Pergunta: | Integral impropria |
calcule os valores de n para que a integral seja convergente int dx/ (x ln(x)^n) de e ate oo resposta n>1 realmente quando n for 0, da oo, mas quando n for oo da 0. e pelo que sei quando da 0 ou infinito ela DIVERGE. o correto nao seria de 1 ate oo-1? |
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| Autor: | Sobolev [ 07 mar 2013, 00:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral impropria |
A última linha do seu post mistura alguns conceitos... A única coisa importante aqui é a definição de integral impróprio. Este integral é convergente se o seguinte limit existir e for finito. Para \(n \ne 1\) temos \(\lim_{b \to + \infty} \int_e^{b} \frac{dx}{ x(\log x)^n} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_e^b \frac{1}{x} (\log x)^{-n}\, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ \frac{(\log x )^{-n+1}}{-n+1}\right]_e^b = \lim_{b \to + \infty} (\frac{1}{(1-n) (\log b)^{n-1}}-\frac{1}{-n+1})\) Olhando para a última expressão vemos que o limite apenas existe se n > 1. O caso n = 1 também dá origem a um integral divergente (é só calcular aprimitiva que nesse caso é \(\log|\log x |\). |
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| Autor: | gustavo.rotondo [ 07 mar 2013, 13:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral impropria |
entendi se N for oo, o limite é 0 que é convergente? ou em exercicios desse tipo não sera possivel considerar oo? |
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| Autor: | Sobolev [ 07 mar 2013, 17:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral impropria |
Repare, n é um parâmetro dado... Não faz sentido atribuir-he o valor \(+ \infty\). A análise da convergência do integral impróprio é feita com base no limite em b. Talvez esteja a confundir com um outro resultado... No caso da a função integranda ser positiva o integral em \([a, +\infty[\) apenas pode ser convergente se a função integranda tender para zero quando x tende para Infinito. Esse é um aspecto que tb pode ser explorado mas, neste caso, não é necessário uma vez que conseguimos fazer o cálculo explícito da primitiva. |
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| Autor: | gustavo.rotondo [ 07 mar 2013, 19:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral impropria |
correto então basicamente em qualquer exercicio do tipo eu vou cair num resultado que sera possivel achar N para que converge ou diverge? |
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| Autor: | Sobolev [ 07 mar 2013, 23:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral impropria [resolvida] |
Sim, sempre que a função integranda depender de parâmetros ( neste caso o n) e for possível calcular explicitamente a primitiva, poderá analisar a existência do integral impróprio em função desses parâmetros, analisando quado é que o limite ( em b) existe ou não existe. |
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