Fórum de Matemática
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Eu tenho dificuldade em saber quando eu devo completar quadrado em uma integral. Alguem poderia dar um exemplo?

Exemplo :

\(\int \frac{x-7}{x^2 -16x +63}dx\) .

Somando-se \(1 + (-1) = 0\) em \(x^2 -16x +63\) obtemos , \((x^2 -16x +64 ) -1 = (x-8)^2 - 1\) que ainda pode ser escrito como \([(x-8) -1 ][(x-8) + 1]= (x-9)(x-7)\) (Por que ?)


Deste modo, ficamos apenas com \(\int \frac{dx}{x-9} , x \neq 7,9\) , resultando \(ln(x-9) +c\)

entendi

poderia dar um exemplo com um termo irredutivel?

\(\int \frac{1}{x^2+4x+5} \, dx = \int \frac{1}{(x^2+4x+4)+1}\, dx = \int \frac{1}{1+(x+2)^2}\,dx = \arctan (x+2) +C\)

então eu posso resolver frações parciais sem o metodo tradicional de dividir em incognitas etc?

Não é isso... Em geral, quando queremos primitivar uma função racional, optamos por a decompor em elementos mais simples que podem ser primitivados de forma imediata. Quando decompomos a função racional, consoante o tipo de raízes do denominador, assim serão os termos a considerar na decomposição. A técnica que exemplifiquei foi aplicada com um exemplo concreto mas pode ser reproduzida sempre que o denominador possua um factor de grau 2 irredutível. Assim, o " completar de quadrados2 é um artifício que pode resolver um caso concreto mas também é usado ao deduzir os resultados mais gerais... Por exemplo imagine que quer determinar a primitiva

\(\int \frac{A x + B}{ x^2+Cx+D} \,dx\)

Em que o denominador não tem raízes reais (portanto \(C^2-4 D < 0\)). Nestas condições conseguirá escrever o denominador na forma \(\beta^2 + (x-\alpha)^2\) (cá está o completar de quadrados), pelo que a primitiva inicial pode ser calculada como

\(\int \frac{A x + B}{\beta^2+(x-\alpha)^2}\, dx = \frac{1}{\beta^2} \int \frac{Ax+B}{1+\left( \frac{x-\alpha}{\beta}\right)^2}\,dx =\frac{1}{\beta^2} \int \frac{\frac{\beta A}{2}\frac{2}{\beta}(x-\alpha)+(B+\alpha A)}{1+\left( \frac{x-\alpha}{\beta}\right)^2}=
\frac{A}{2} \int \frac{\frac{2}{\beta}(x-\alpha)}{{1+\left( \frac{x-\alpha}{\beta}\right)^2}}\,dx +\frac{B+\alpha A}{\beta}\int \frac{1/\beta}{{1+\left( \frac{x-\alpha}{\beta}\right)^2}}\, dx= \frac{A}{2} \log|\frac{x-\alpha}{\beta}| + \frac{B+\alpha A}{\beta}\arctan(\frac{x-\alpha}{\beta}) + C\)

Isto tudo para dizer que as técnicas utilizadas (como o completar de quadrados) não podem ser vistas como um método em si para calcular as primitivas, mas antes como um "artificio" que tanto pode resolver de imediato uma certa primitiva como ser apenas mais um passo quandio analisamos um caso diferente.