Devido à linearidade,
\(I+J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})cos^2(x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})sen^2(x)dx=\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})(cos^2(x)+sen^2(x))dx=\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})dx\)
Que (espero) é fácil de resolver.
\(I-J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})(cos^2(x)-sen^2(x))dx\)
Ora sabemos que
\(cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+cos(2x))\)
e
\(sen^2(x)=\frac{1}{2}(1-cos(2x))\)
Logo,
\(cos^2(x)-sen^2(x)=cos(2x)\)
e
\(I-J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})cos(2x)dx\)
Que pode ser resolvido separando os termos e resolvendo um dos integrais por partes. Espero que nao haja dificuldade
