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| Função logarítmica neperiana https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=219 |
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| Autor: | marques_gc [ 02 mar 2012, 02:08 ] |
| Título da Pergunta: | Função logarítmica neperiana |
Boas a todos, Tenho dificuldades em resolver este exercício. Agradeço a vossa indesvendável ajuda. Questão: Temos: \(K=\int_{\sqrt{2}}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-1}}\) Seja f a função de \(]1,+\infty[\) em IR definida pela: \(f(x)=1n(x+\sqrt{x^{2}-1})\) Calcule a função derivada de f. Deduzir o valor de K. Muito obrigado antecipadamente. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 02 mar 2012, 14:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Função logarítmica neperiana |
Boas meu caro Se tem \(f(x)=1n(x+\sqrt{x^{2}-1})\) Calculemos então a derivada de \(f(x)\) Lembre-se que \((ln(u))'=\frac{u'}{u}\) Então: \(\frac{d f(x)}{dx}=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})'}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\) Então repare que \(f(x)\) é uma primitiva da função que está no integral. Assim pela regra fundamental do cálculo: \(K=f(2)-f(\sqrt{2})\) |
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