Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite.
Preciso de ajuda no seguinte exercício:
"Exprima em coordenadas polares o integral \(\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x}f(x^{2}+ y^{2})dy\)
"
É apresentado como solução \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\frac{1}{cos\Theta +sen\Theta }} rf(r)drd\Theta\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\frac{1}{cos\Theta +sen\Theta }} rf(r)drd\Theta\).
Só não consigo chegar a \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\).

Peço ajuda neste passo.
Obrigado!

Boas meu caro

O integral que quer mudar para coordenadas polares é o seguinte:

\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}f(x^2+y^2)dxdy\)

Tenha atenção que é esta a notação correta. O que escreveu está muito confuso e está formalmente incorreto.

Ora então, lembre-se que quando se transforma em coordenadas polares, tem-se

\(x = r \cos \theta\)
\(y = r sen \theta\)

\(r = \sqrt{y^2 + x^2}\)
\(\theta = arctg(y/x)\)

Lembre-se que para o caso dos integrais é preciso fazer:
\(dxdy=r dr d\theta\)

Veja facilmente pela imagem em anexo que para cobrir toda a zona a cinzento (área de integração) o \(\theta\) tem de estar entre \(0\) e \(\pi/2\), e o \(r\) tem de ficar entre \(0\) e a reta \(y=1-x\)

Temos então de achar a reta \(y=1-x\) em função de \(r\)

Pelas fórmulas acima vemos que se
\(y=1-x\)

então
\(r.sen(\theta)=1-r.cos(\theta) \Leftrightarrow r\left(sen(\theta)+cos(\theta)\right)=1\)
\(r=\frac{1}{sen(\theta)+cos(\theta)}\)

Concluindo temos:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{1}{sen(\theta)+cos(\theta)}}f(r^2)rdrd\theta\)

Cumprimentos

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Boa tarde.
Agradeço a ajuda, que é muito bem vinda.
Em relação à notação, encontro várias vezes esta notação em cadernos feitos por docentes da universidade, inclusivé no caderno de exercícios que os mesmos forneceram aos alunos que apoiam. Daí a notação que apresento.
Na notação que diz ser a correta, dx está associado ao intervalo de integração [0, 1-x]. Mas não deveria estar associado ao intervalo \(\left [ 0, 1]\) ?
Agora, confesso que confundiu-me com o problema das notações.

Mea culpa meu caro

Tem toda a razão. Deveria ter escrito

\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}f(x^2+y^2)dydx\)

No entanto devo referir que nunca vi essa notação que você usa ser adotada...

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João Pimentel Ferreira
 
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Boa tarde.
Posso-lhe indicar o site onde poderá encontrar a notação que apresentei:
http://www.pgarrao.uac.pt/MatematicaII/MatematicaII.htm.

Peço ajuda, agora, no seguinte integral, passando para coordenadas polares:
\(\int_{1}^{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} dy dx\).

Penso que \(0\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\), certo?
E quanto a r?

Meu caro

Estive a ver a hiper-ligação que me enviou e não vi nenhuma referência à forma como você apresentou os integrais aqui. Mas posso não ter encontrado. Pode pf enviar o link direto para o pdf em apreço?

Em relação ao segundo exercício terá de o colocar noutro tópico.

Regra nº 3 do fórum: Um exercício por tópico

Cumprimentos

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Bom dia.

Em relação ao outro exercício, já coloco noutro tópico. Obrigado pela chamada de atenção.

No que diz respeito à notação dos integrais, encontrará (por exemplo) na página 100 do Texto de Apoio (Teoria e Prática), na parte Documentação do site que lhe indiquei.

Obrigado!

Já vi

É como lhe digo, nunca vi essa notação ser adotada até hoje.

Mas estamos sempre a aprender

Abraços

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João Pimentel Ferreira
 
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