\(\int_{-\pi /2}^{\pi /2} \frac{x^{2}senx}{1+x^6} dx\)
Não consegui resolver esta integral, alguém poderia me ajudar?
desde já agradeço.
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| Integral definida de função ímpar https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=2888 |
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| Autor: | LorenaIFNMG [ 22 jun 2013, 01:49 ] |
| Título da Pergunta: | Integral definida de função ímpar [resolvida] |
\(\int_{-\pi /2}^{\pi /2} \frac{x^{2}senx}{1+x^6} dx\) Não consegui resolver esta integral, alguém poderia me ajudar? desde já agradeço.
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| Autor: | João P. Ferreira [ 22 jun 2013, 14:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral definida. |
Repare que a função integranda é ímpar, ou seja \(f(-x)=-f(x)\), logo como os intervalos de integração são entre dois números simétricos o resultado é zero \(f(-x)=\frac{(-x)^2 sen (-x)}{1+(-x)^6}=\frac{-x^2 sen (x)}{1+x^6}=-f(x)\) lembre-se que \(sen(-x)=-sen(x)\) \(\int_{-a}^a f(t)dt=\int_{-a}^0 f(t)dt+\int_{0}^a f(t)dt\) uma mudanção de variável no primeiro integral \(t=-u \Leftrightarrow \frac{dt}{du}=-1 \Leftrightarrow dt=-du\) quando \(t=-a \Rightarrow u=a\), quando \(t=0 \Rightarrow u=0\) então \(\int_{-a}^a f(t)dt=\int_{0}^a f(-u)du+\int_{0}^a f(t)dt\) mas como a função é ímpar \(f(-u)=-f(u)\) \(\int_{0}^a (-f(u))du+\int_{0}^a f(t)dt=0\) |
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