Fórum de Matemática
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Boa Tarde galera. Bom a minha dúvida é como resolver a seguinte integral definida:

\(\large \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}dx\)

Gostaria de uma solução sem usar procedimentos computacionais.
Pelo que eu sei, a resposta é 1.

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"A Matemática é a linguagem com o qual Deus escreveu o universo"
Galileu Galilei

(estou a pensar alto)

Considerando que a primitiva da função integranda não é de todo fácil de achar nem elementar, penso que pode começar por considerar esta função

\(f(x)=\int_0^x\frac{e^{-t}-e^{-et}}{t}dt\)

quer achar então \(\lim_{x \to +\infty}f(x)\)

ora sabemos pela regra fundamental do cálculo que

\(f'(x)=\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}\)

sabemos também pela regra da derivada no ponto que

\(f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

igualando

\(\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}\)

fazendo limite para \(+\infty\) dos dois lados

\(\lim_{x\to +\infty}\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}\)

\(\lim_{h\to 0}\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0\)

.
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não sei se é este o caminho, talvez esteja só a complicar....

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João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Na verdade ao trabalharmos com limite devemos observar que a função é descontínua em 0. Acho que complicaria mais usar 2 limites pra resolver essa integral. Ficaria assim:
\(\Large \lim_{y\rightarrow 0}\int_{y}^{n_0}\frac{e^{-t}-e^{-et}}{t}dt+\lim_{z\rightarrow +\infty}\int_{n_0}^{z}\frac{e^{-t}-e^{-et}}{t}dt ; n_0 \in \mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}\)
Mas achei bem interessante a sua proposta.

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Galileu Galilei

Sim, tem toda a razão, a função integranda tem uma singularidade em t=0

o problema aqui não é a singularidade, é sim, achar a primitiva da função integranda...

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João Pimentel Ferreira
 
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Bom, depois de muito pensar nessa integral, consegui resolvê-la...
Vou apresentar aqui meu raciocínio:

\(\LARGE \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}dx\)

Inicialmente vou trabalhar na função integranda. Eu percebi que os termos da diferença se distinguem apenas pelo coeficiente(1 e 'e'), ao que me sinalizou ser uma integral definida... daí tentei encontrar a integral que resultasse no integrando, o que não é complicado, uma vez que precisamos apenas da derivada do integrando. Para isso inseri uma variável 'a', de forma que eu pudesse exprimir essa outra integral em termos diferentes de 'x'.

\(\LARGE f(x)=\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}=\left [ \frac{e^{-ax}}{x} \right ]_{e}^{1}=-\left [ \frac{e^{-ax}}{x} \right ]_{1}^{e}=-\int_{1}^{e} -e^{-ax}da=\int_{1}^{e}e^{-ax}da\)

Posso, então, reescrever a integral da seguinte forma, e a partir disso trocar a ordem de integração.

\(\LARGE \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}dx=\int_{0}^{\infty}\int_{1}^{e}e^{-ax}dadx=\int_{1}^{e}\int_{0}^{\infty}e^{-ax}dxda=\int_{1}^{e}\left [ -\frac{e^{-ax}}{a} \right ]_{0}^{\infty}da=\int_{1}^{e}\frac{1}{a}da=\left [ ln|a| \right ]_{1}^{e}=1.\)

Se alguém conseguir resolver de alguma forma diferente, seria bacana compartilhar as soluções.
Um abraço.

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Galileu Galilei

Amigo, vc é um génio

Parabéns, confesso que não chegava lá tão cedo

E sejam benvindas as suas contribuições aqui no fórum

Um grande abraço

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João Pimentel Ferreira
 
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Minha tentativa usando transformada de laplace:


sabemos que : \(\frac{1}{x}=\int_{0}^{+\infty} \; e^{-xy} \; dy\)


então:


\(\int_{0}^{+\infty} \; \int_{0}^{+\infty} \; e^{-xy}*(e^{-x}-e^{-ex} ) \; dydx\)


\(\int_{0}^{+\infty} \; \int_{0}^{+\infty} \; e^{-xy}*e^{-x}-e^{-xy}*e^{-ex} \; dydx\)


invertendo a ordem de integração:


\(\int_{0}^{+\infty} \; \int_{0}^{+\infty} \; e^{-yx}*e^{-x}-e^{-yx}*e^{-ex} \; dxdy\)


\(\int_{0}^{+\infty} \; \mathcal{L} \left \{e^{-x} \right\}-\mathcal{L} \left\{e^{-ex}\right \} \; dy\)


\(\int_{0}^{+\infty} \; \frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+e}\; dy\)


Resolvendo encontramos o resultado

alguns links caso alguém se interesse sobre este assunto:

Transformada de Laplace e Integrais Impróprias Parte 1

Transformada de Laplace e Integrais Impróprias Parte 2

Transformada de Laplace e Integrais Impróprias Parte 3

Transformada de Laplace e Integrais Impróprias Parte 4

Integrais Impróprias que dependem de um parametro

Integração pelo metódo de diferenciação em relação a um parâmetro

att e abraços