Amigo, vc é um génio
Parabéns, confesso que não chegava lá tão cedo
E sejam benvindas as suas contribuições aqui no fórum
Um grande abraço
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| Integral impróprio ( Exp[-x] - Exp[-e x] ) / x https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=3203 |
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| Autor: | Davi Constant [ 27 jul 2013, 16:05 ] |
| Título da Pergunta: | Integral impróprio ( Exp[-x] - Exp[-e x] ) / x |
Boa Tarde galera. Bom a minha dúvida é como resolver a seguinte integral definida: \(\large \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}dx\) Gostaria de uma solução sem usar procedimentos computacionais. Pelo que eu sei, a resposta é 1. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 27 jul 2013, 18:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral definida |
(estou a pensar alto) Considerando que a primitiva da função integranda não é de todo fácil de achar nem elementar, penso que pode começar por considerar esta função \(f(x)=\int_0^x\frac{e^{-t}-e^{-et}}{t}dt\) quer achar então \(\lim_{x \to +\infty}f(x)\) ora sabemos pela regra fundamental do cálculo que \(f'(x)=\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}\) sabemos também pela regra da derivada no ponto que \(f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) igualando \(\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}\) fazendo limite para \(+\infty\) dos dois lados \(\lim_{x\to +\infty}\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}\) \(\lim_{h\to 0}\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0\) . . . não sei se é este o caminho, talvez esteja só a complicar.... |
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| Autor: | Davi Constant [ 27 jul 2013, 20:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral definida |
João P. Ferreira Escreveu: (estou a pensar alto) Considerando que a primitiva da função integranda não é de todo fácil de achar nem elementar, penso que pode começar por considerar esta função \(f(x)=\int_0^x\frac{e^{-t}-e^{-et}}{t}dt\) quer achar então \(\lim_{x \to +\infty}f(x)\) ora sabemos pela regra fundamental do cálculo que \(f'(x)=\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}\) sabemos também pela regra da derivada no ponto que \(f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) igualando \(\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}\) fazendo limite para \(+\infty\) dos dois lados \(\lim_{x\to +\infty}\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}\) \(\lim_{h\to 0}\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0\) . . . não sei se é este o caminho, talvez esteja só a complicar.... Na verdade ao trabalharmos com limite devemos observar que a função é descontínua em 0. Acho que complicaria mais usar 2 limites pra resolver essa integral. Ficaria assim: \(\Large \lim_{y\rightarrow 0}\int_{y}^{n_0}\frac{e^{-t}-e^{-et}}{t}dt+\lim_{z\rightarrow +\infty}\int_{n_0}^{z}\frac{e^{-t}-e^{-et}}{t}dt ; n_0 \in \mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}\) Mas achei bem interessante a sua proposta. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 28 jul 2013, 00:51 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral definida |
Sim, tem toda a razão, a função integranda tem uma singularidade em t=0 o problema aqui não é a singularidade, é sim, achar a primitiva da função integranda... |
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| Autor: | Davi Constant [ 10 ago 2013, 03:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral definida [resolvida] |
Davi Constant Escreveu: Boa Tarde galera. Bom a minha dúvida é como resolver a seguinte integral definida: \(\large \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}dx\) Gostaria de uma solução sem usar procedimentos computacionais. Pelo que eu sei, a resposta é 1. Bom, depois de muito pensar nessa integral, consegui resolvê-la... Vou apresentar aqui meu raciocínio: \(\LARGE \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}dx\) Inicialmente vou trabalhar na função integranda. Eu percebi que os termos da diferença se distinguem apenas pelo coeficiente(1 e 'e'), ao que me sinalizou ser uma integral definida... daí tentei encontrar a integral que resultasse no integrando, o que não é complicado, uma vez que precisamos apenas da derivada do integrando. Para isso inseri uma variável 'a', de forma que eu pudesse exprimir essa outra integral em termos diferentes de 'x'. \(\LARGE f(x)=\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}=\left [ \frac{e^{-ax}}{x} \right ]_{e}^{1}=-\left [ \frac{e^{-ax}}{x} \right ]_{1}^{e}=-\int_{1}^{e} -e^{-ax}da=\int_{1}^{e}e^{-ax}da\) Posso, então, reescrever a integral da seguinte forma, e a partir disso trocar a ordem de integração. \(\LARGE \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}dx=\int_{0}^{\infty}\int_{1}^{e}e^{-ax}dadx=\int_{1}^{e}\int_{0}^{\infty}e^{-ax}dxda=\int_{1}^{e}\left [ -\frac{e^{-ax}}{a} \right ]_{0}^{\infty}da=\int_{1}^{e}\frac{1}{a}da=\left [ ln|a| \right ]_{1}^{e}=1.\) Se alguém conseguir resolver de alguma forma diferente, seria bacana compartilhar as soluções. Um abraço. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 10 ago 2013, 08:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral definida |
Amigo, vc é um génio Parabéns, confesso que não chegava lá tão cedo E sejam benvindas as suas contribuições aqui no fórum Um grande abraço |
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| Autor: | Man Utd [ 30 dez 2013, 15:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral definida |
Davi Constant Escreveu: \(\large \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-ex}}{x}dx\) Minha tentativa usando transformada de laplace: sabemos que : \(\frac{1}{x}=\int_{0}^{+\infty} \; e^{-xy} \; dy\) então: \(\int_{0}^{+\infty} \; \int_{0}^{+\infty} \; e^{-xy}*(e^{-x}-e^{-ex} ) \; dydx\) \(\int_{0}^{+\infty} \; \int_{0}^{+\infty} \; e^{-xy}*e^{-x}-e^{-xy}*e^{-ex} \; dydx\) invertendo a ordem de integração: \(\int_{0}^{+\infty} \; \int_{0}^{+\infty} \; e^{-yx}*e^{-x}-e^{-yx}*e^{-ex} \; dxdy\) \(\int_{0}^{+\infty} \; \mathcal{L} \left \{e^{-x} \right\}-\mathcal{L} \left\{e^{-ex}\right \} \; dy\) \(\int_{0}^{+\infty} \; \frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+e}\; dy\) Resolvendo encontramos o resultado alguns links caso alguém se interesse sobre este assunto: Transformada de Laplace e Integrais Impróprias Parte 1 Transformada de Laplace e Integrais Impróprias Parte 2 Transformada de Laplace e Integrais Impróprias Parte 3 Transformada de Laplace e Integrais Impróprias Parte 4 Integrais Impróprias que dependem de um parametro Integração pelo metódo de diferenciação em relação a um parâmetro att e abraços
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