Olá vinipro7!
Queremos apresentar os intervalos de crescimento e decrescimento da função \(F(x)\), ou seja, teremos que achar a função \(F'(x)\) e estudar o seu sinal.
Exite um teorema em Cálculo que diz que se \(F(x)=\int_{h(x)}^{g(x)} f(t) dt\) então \(F'(x)=-f(h(x)) \cdot h'(x) + f(g(x)) \cdot g'(x)\)
Então, apartir daqui podemos começar a efectuar os nossos estudos
\(h(x)=1\)
\(g(x)=x^3+3x^2\)
\(F'(x)=-f(1) \cdot (1)' + f(x^3+3x^2) \cdot (3x^2+6x)\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow F'(x)=0+ f(x^3+3x^2) \cdot (3x^2+6x)\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow F'(x)=f(x^3+3x^2) \cdot (3x^2+6x)\)
Como \(f(t)>0\), só vale a pena estudar o sinal de \(3x^2+6x\), pois o sinal será igual ao de \(F'(x)\)
Os zeros da função são: 0 e -2
Mais a baixo encontra-se o quadro de sinal da função.
Como podemos observar \(F(x)\) é crescente em \(]- \infty,-2[ \bigcup ]0,+ \infty[\)
e é decrescente em \(]-2,0[\)
Espero ter ajudado,
Qualquer dúvida não hesites,
Cumprimentos,
Eduardo Fernandes
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