Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Resolva a seguinte integral imprópria:
\(\\\\ \int_{-\frac{pi}{3}}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x) dx\)



comecei assim:

sabendo que as descontinuidades ocorrem em -pi/6 e pi/6 :

\(\\\ \int_{-\frac{pi}{3}}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x) dx=\lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{-}}\int_{0}^{t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x)dx\)

Até aqui o desenvolvimento está correto? se não por que está incorreto?

Fiz assim

\(\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x) dx =\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- }\int_{-t}^{t}tg^{3}(3x) dx=\)

\(=\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- } \left(\int_{-t}^{0}tg^{3}(3x) dx+\int_{0}^{t}tg^{3}(3x) dx\right)\)

como \(f(x)=tg^3(3x)\) é uma função ímpar \(\int_0^a f(x)dx=-\int_{-a}^0 f(x)dx \Leftrightarrow -\int_0^a f(x)dx=\int_{-a}^0 f(x)dx\)

por aqui pode ver que dá zero

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João Pimentel Ferreira
 
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olá amigo.tenho três dúvidas sobre a resolução.

1°) Por que vc fez o limite tendendo a pi/3? já que as descontinuidades acontecem em -pi/6 e pi/6.
2º) Se a integral imprópria for zero ,então seria convergente né?
3°) No meu desenvolvimento,vc poderia apontar algum erro?

Obrigado pela atenção.Vlw pela alteração no título.
att.

ui amigo, fiz asneira

Tem razão, a descontinuidade é em \(x=\pi/6\)

A sua resolução parece estar certa, considere na sua resolução o facto de \(tg^3(3x)\) ser ímpar e a igualdade que lhe mostrei

Sim, se o integral dá um número finito, ele é convergente

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Eu fiz assim,respondendo aquela primeira integral imprópria temos que o resultado é +infinito.

\(\lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx=+ \infty\)

daí eu já poderia parar,já que sabemos que vai dar divergente né?

O wolfram diz que essa integral vale zero,porém diz que é divergente.como essa integral pode ser zero se é divergente?
link do wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +to+pi%2F3

abraços.
att.

Lembre-se que \(+\infty-\infty\) é uma indeterminação logo pelo facto de um integral ter dado \(+\infty\) não significa que o integral seja divergente

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\(\\\ \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x) dx=\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{\pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{0}^{-t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow \frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=\)

\(\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{t}^{\frac{\pi}{3}}(-tg^{3}(3x))dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{t}^{0}(-tg^{3}(3x))dx+\lim_{t\rightarrow \frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=0\)

se agora as contas não me falham

o que sucede é que a singularidade que o integral atravessa é uma singularidade não convergente. O integral dá zero, porque a função é ímpar e faz com que os dois lados da função se anulem

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\(\\\\ \lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{-}}\int_{0}^{t}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=+\infty\)

olá amigo obrigado pela paciência,eu obtive +infinito em todas as integrais impróprias(ao menos que eu tenha errado em contas).
por que na sua resposta zero(valor númerico) é divergente? (eu entendo que deu zero porque a função é impar num intervalo simétrico) Mas divergente não seria +ou-infinito?

att

Pense neste integral, o problema é semelhante mas mais fácil de analisar

\(\int_{-1}^1 \frac{1}{x} dx=\lim_{t\to 0^-}\int_{-1}^t \frac{1}{x} dx+\lim_{t\to 0^+}\int_{t}^1 \frac{1}{x} dx=\)

\(=\lim_{t\to 0^-}\int_{-t}^1 (-\frac{1}{x}) dx+\lim_{t\to 0^+}\int_{t}^1 \frac{1}{x} dx=\)

\(=\lim_{t\to 0^-}[-ln|x|]_{-t}^1 +\lim_{t\to 0^+}[ln|x|]_t^1=\)

\(=\lim_{t\to 0^-}ln|-t|-\lim_{t\to 0^+}ln|t|=\)

fazendo uma mudança de variável no primeiro integral \(t\to -t\)

\(=\lim_{t\to 0^+}ln|t|-\lim_{t\to 0^+}ln|t|=\lim_{t\to 0^+}(ln|t|-ln|t|)=0\)

agora, há aqui uma contradição, mas confesso que não sei resolvê-la.

Terá a ver com o facto de o intervalo de integração, passar por uma singularidade não integrável, presumo, tal como acontece com o seu problema

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João Pimentel Ferreira
 
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Isso é interessante.Só acontece em funções ímpares em intervalos simétricos? e eu não posso deixar minha resposta assim?


já que também cheguei a conclusão que é divergente.
att,obrigado pela ótima explanação.