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Fiz assim

\(\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x) dx =\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- }\int_{-t}^{t}tg^{3}(3x) dx=\)

\(=\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- } \left(\int_{-t}^{0}tg^{3}(3x) dx+\int_{0}^{t}tg^{3}(3x) dx\right)\)

como \(f(x)=tg^3(3x)\) é uma função ímpar \(\int_0^a f(x)dx=-\int_{-a}^0 f(x)dx \Leftrightarrow -\int_0^a f(x)dx=\int_{-a}^0 f(x)dx\)

por aqui pode ver que dá zero

olá amigo.tenho três dúvidas sobre a resolução.

1°) Por que vc fez o limite tendendo a pi/3? já que as descontinuidades acontecem em -pi/6 e pi/6.

\(\\\\ \lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{-}}\int_{0}^{t}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=+\infty\)

Autor:	Man Utd [ 11 ago 2013, 13:57 ]
Título da Pergunta:	Integral Imprópria com função ímpar
Resolva a seguinte integral imprópria: \(\\\\ \int_{-\frac{pi}{3}}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x) dx\) Spoiler: GABARITO:NÃO CONVERGE comecei assim: sabendo que as descontinuidades ocorrem em -pi/6 e pi/6 : \(\\\ \int_{-\frac{pi}{3}}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x) dx=\lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{-}}\int_{0}^{t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x)dx\) Até aqui o desenvolvimento está correto? se não por que está incorreto?

Autor:	João P. Ferreira [ 11 ago 2013, 18:15 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral Imprópria
Fiz assim \(\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x) dx =\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- }\int_{-t}^{t}tg^{3}(3x) dx=\) \(=\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- } \left(\int_{-t}^{0}tg^{3}(3x) dx+\int_{0}^{t}tg^{3}(3x) dx\right)\) como \(f(x)=tg^3(3x)\) é uma função ímpar \(\int_0^a f(x)dx=-\int_{-a}^0 f(x)dx \Leftrightarrow -\int_0^a f(x)dx=\int_{-a}^0 f(x)dx\) por aqui pode ver que dá zero

Autor:	Man Utd [ 11 ago 2013, 20:15 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral Imprópria com função ímpar
João P. Ferreira Escreveu: Fiz assim \(\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x) dx =\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- }\int_{-t}^{t}tg^{3}(3x) dx=\) \(=\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- } \left(\int_{-t}^{0}tg^{3}(3x) dx+\int_{0}^{t}tg^{3}(3x) dx\right)\) como \(f(x)=tg^3(3x)\) é uma função ímpar \(\int_0^a f(x)dx=-\int_{-a}^0 f(x)dx \Leftrightarrow -\int_0^a f(x)dx=\int_{-a}^0 f(x)dx\) por aqui pode ver que dá zero olá amigo.tenho três dúvidas sobre a resolução. 1°) Por que vc fez o limite tendendo a pi/3? já que as descontinuidades acontecem em -pi/6 e pi/6. 2º) Se a integral imprópria for zero ,então seria convergente né? 3°) No meu desenvolvimento,vc poderia apontar algum erro? Obrigado pela atenção.Vlw pela alteração no título. att.

Autor:	João P. Ferreira [ 11 ago 2013, 22:01 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral Imprópria com função ímpar
Man Utd Escreveu: olá amigo.tenho três dúvidas sobre a resolução. 1°) Por que vc fez o limite tendendo a pi/3? já que as descontinuidades acontecem em -pi/6 e pi/6. ui amigo, fiz asneira Tem razão, a descontinuidade é em \(x=\pi/6\) A sua resolução parece estar certa, considere na sua resolução o facto de \(tg^3(3x)\) ser ímpar e a igualdade que lhe mostrei Sim, se o integral dá um número finito, ele é convergente

Autor:	Man Utd [ 12 ago 2013, 17:57 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral Imprópria com função ímpar
Eu fiz assim,respondendo aquela primeira integral imprópria temos que o resultado é +infinito. \(\lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx=+ \infty\) daí eu já poderia parar,já que sabemos que vai dar divergente né? O wolfram diz que essa integral vale zero,porém diz que é divergente.como essa integral pode ser zero se é divergente? link do wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +to+pi%2F3 abraços. att.

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Integral Imprópria com função ímpar https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=3294	Página 1 de 2

Autor:	João P. Ferreira [ 12 ago 2013, 18:13 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral Imprópria com função ímpar
Lembre-se que \(+\infty-\infty\) é uma indeterminação logo pelo facto de um integral ter dado \(+\infty\) não significa que o integral seja divergente

Autor:	João P. Ferreira [ 12 ago 2013, 18:21 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral Imprópria com função ímpar
\(\\\ \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x) dx=\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{\pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{0}^{-t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow \frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=\) \(\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{t}^{\frac{\pi}{3}}(-tg^{3}(3x))dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{t}^{0}(-tg^{3}(3x))dx+\lim_{t\rightarrow \frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=0\) se agora as contas não me falham o que sucede é que a singularidade que o integral atravessa é uma singularidade não convergente. O integral dá zero, porque a função é ímpar e faz com que os dois lados da função se anulem

Autor:	Man Utd [ 12 ago 2013, 18:59 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral Imprópria com função ímpar
\(\\\\ \lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{-}}\int_{0}^{t}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=+\infty\) olá amigo obrigado pela paciência,eu obtive +infinito em todas as integrais impróprias(ao menos que eu tenha errado em contas). por que na sua resposta zero(valor númerico) é divergente? (eu entendo que deu zero porque a função é impar num intervalo simétrico) Mas divergente não seria +ou-infinito? att

Autor:	João P. Ferreira [ 12 ago 2013, 20:59 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral Imprópria com função ímpar
Pense neste integral, o problema é semelhante mas mais fácil de analisar \(\int_{-1}^1 \frac{1}{x} dx=\lim_{t\to 0^-}\int_{-1}^t \frac{1}{x} dx+\lim_{t\to 0^+}\int_{t}^1 \frac{1}{x} dx=\) \(=\lim_{t\to 0^-}\int_{-t}^1 (-\frac{1}{x}) dx+\lim_{t\to 0^+}\int_{t}^1 \frac{1}{x} dx=\) \(=\lim_{t\to 0^-}[-ln\|x\|]_{-t}^1 +\lim_{t\to 0^+}[ln\|x\|]_t^1=\) \(=\lim_{t\to 0^-}ln\|-t\|-\lim_{t\to 0^+}ln\|t\|=\) fazendo uma mudança de variável no primeiro integral \(t\to -t\) \(=\lim_{t\to 0^+}ln\|t\|-\lim_{t\to 0^+}ln\|t\|=\lim_{t\to 0^+}(ln\|t\|-ln\|t\|)=0\) agora, há aqui uma contradição, mas confesso que não sei resolvê-la. Terá a ver com o facto de o intervalo de integração, passar por uma singularidade não integrável, presumo, tal como acontece com o seu problema

Autor:	Man Utd [ 12 ago 2013, 21:31 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral Imprópria com função ímpar
Isso é interessante.Só acontece em funções ímpares em intervalos simétricos? e eu não posso deixar minha resposta assim? Man Utd Escreveu: \(\\\\ \lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{-}}\int_{0}^{t}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=+\infty\) já que também cheguei a conclusão que é divergente. att,obrigado pela ótima explanação.

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