Boa noite,

(reeditado para corrigir)

Como a reta da qual se quer a inclinação passa pela raiz, então sua equação reduzida é dada por uma função \(g(x) = m \cdot x\) ondem \(m\) é o coeficiente angular ou a inclinação pedida.

A função \(f(x) = x - x^2\) representa uma parábola com raízes 0 e 1. então a região delimitada conforme o enunciado vai de 0 até 1.

A integral de f(x) no intervalo [0,1]: \(\int_{0}^{1} x-x^2 dx = \frac{1}{6}\)

Portanto a metade dessa área é igual a \(\frac{1}{12}\)

Por outro lado, as curvas de f(x) e g(x) se cruzam quando f(x)=g(x) e isso ocorre para \(x = 1 -m\) :

Então podemos calcular o m, inclinação da reta pela seguinte igualdade:

\(\int_{0}^{1-m} (mx) dx + \int_{1-m}^{1} (x-x^2) dx = \frac{1}{12}\)

Ou seja, calculamos a área sob a reta até ela cruzar com a parábola, somamos com a área sob a parábola desse ponto até x=1 e igualamos à metade da área da parábola toda.

Fazendo algumas contas, se não errei-as, você chegará a \(m = \frac{2-\sqrt[3]{4}}{2}\) . Então a inclinação é de aproximadamente 0,206 = 20,6 % ou, então a inclinação é \(arctg(\frac{2-\sqrt[3]{4}}{2})\)
.

Bom dia Mauro,

Engenharia reversa, muitas vezes é um bom ponto de partida para encontrar o caminho para uma solução, isso quando já sabemos qual é e esse é o nosso caso pois sabemos que a área acima ou abaixo da reta é 1/12 u.a.

Na minha primeira solução acima eu calculei a área abaixo da reta, na verdade a área de um triângulo mais a área de um pequeno trecho da parábola, anexo uma figura:


Agora vou calcular pela parte acima da reta que, talvez, fique mais fácil de compreender.

Na figura \(x' = 1 - m\) é o ponto de cruzamento das curvas, o ponto G ( êpa, isso ficou com duplo sentido! ). Então devemos calcular a área do trecho da parábola acima da reta no intervalo de 0 até 1-m e igualar a 1/12:

\(\int_{0}^{1-m} x-x^2 - (mx) dx = \left [ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{mx}{2} \right ]_0^{1-m} = \frac{1}{12}\)

Isso é igual a: \(\frac{(1-m)^2}{2} - \frac{(1-m)^3}{3} - \frac{m(1-m)}{2} = \frac{1}{12}\)

Com algum algebrismo você chega em \((1-m)^3 = \frac{1}{2}\).

A raiz real dessa cúbica pode ser encontrada elevando-se ambos os membros a 1/3:

\((1-m)^3)^{\frac{1}{3}} = \left( {\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{3}} \Leftrightarrow m = 1 - \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow m = \frac{2 - 2^{\frac{2}{3}}}{2}\) que é o mesmo resultado da outra solução.

Oi Mauro,

Obrigado pela observação, você está certo. Olhando para a minha resolução, e como não rascunhei, fui digitando diretamente, tudo me leva a crer que cometi um erro de digitação e depois de CTRL-C/CTRL-V e peço desculpas a você e aos demais.

Abraços.