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| Equação integral de um intervalo A até o infinito. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=3400 |
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| Autor: | Eli [ 24 ago 2013, 04:38 ] |
| Título da Pergunta: | Equação integral de um intervalo A até o infinito. [resolvida] |
Determine a função \(y(x)\) com domínio pertencente aos Reais que é solução da equação integral \(\int_{A}^{\infty}\frac{[y(x)]^2}{x}dx = C\), com \(C\) constante. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 24 ago 2013, 12:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação integral |
\(\int_{A}^{\infty}\frac{[y(x)]^2}{x}dx = C\) Considere este limite, pois trata-se de um integral impróprio \(\lim_{z \to +\infty}\int_{A}^{z}\frac{[y(x)]^2}{x}dx = C\) derive dos dois lados em ordem a \(z\) \(\lim_{z \to +\infty}\int_{A}^{z}\frac{[y(x)]^2}{x}dx = C \Leftrightarrow \\ \frac{\partial }{z}\left(\lim_{z \to +\infty}\int_{A}^{z}\frac{[y(x)]^2}{x}dx \right ) = 0 \Leftrightarrow \\ \ como \ o \ limite\ e\ a\ derivada\ sao\ operadores\ lineares \ podem \ trocar\\ \lim_{z \to +\infty}\frac{\partial }{z}\left(\int_{A}^{z}\frac{[y(x)]^2}{x}dx \right ) = 0 \Leftrightarrow \\ \ aplicando \ a \ derivacao \ de \ integrais \\ \lim_{z\to +\infty}\frac{y^2(z)}{z}=0\) uma função que satisfaz este limite é \(y(x)=\frac{k}{x}\) sendo \(k\) constante Assim substituindo \(y(x)\) por \(\frac{k}{x}\) ficamos com \(\lim_{z \to +\infty}\int_{A}^{z}\frac{k^2}{x^3}dx = C \Leftrightarrow \\ k^2\lim_{z \to +\infty}\int_{A}^{z}\frac{1}{x^3}dx = C \Leftrightarrow \\ k^2\lim_{z \to +\infty}\left[-\frac{1}{2x^2} \right ]_A^z = C \Leftrightarrow \\ k^2\lim_{z \to +\infty}\left(\frac{1}{2A^2}+\frac{1}{2z^2} \right ) = C \Leftrightarrow \\ \frac{k^2}{2A^2}=C \Leftrightarrow \ k=A\sqrt{2C}\) a função \(y(x)\) é então \(y(x)=\frac{A\sqrt{2C}}{x}\) (se as contas não me falham) Cumprimentos PS: Veja as regras, seja descritivo no assunto, ajudando os outros a encontrar as suas perguntas, duas palavras é pouco |
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