Fórum de Matemática
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Directamente a partir da fórmula trigonométrica sen(p - q) + sen(p - q) = 2 sen p . cos q

\(\int sen(3x). cos(x) dx\)

Obg.

Esta é daquelas que se faz primitivação por partes duas vezes

\(Psen(3x)cos(x)\)

Façamos por partes

\(Pu'v=uv-Pv'u\)

\(u'=cos(x) \ \Rightarrow \ u=sen(x)\)

\(v=sen(3x)\ \Rightarrow \ v'=3cos(3x)\)

Então temos que

\(Psen(3x)cos(x)=sen(x)sen(3x)-P3cos(3x)sen(x)=sen(x)sen(3x)-3Pcos(3x)sen(x)\)

Resolvamos agora a última primitiva por partes novamente

\(Pcos(3x)sen(x)\)

\(Pu'v=uv-Pv'u\)

\(u'=sen(x) \ \Rightarrow \ u=-cos(x)\)

\(v=cos(3x)\ \Rightarrow \ v'=-3sen(3x)\)

\(Pcos(3x)sen(x)=-cos(x)cos(3x)-P(-3sen(3x))(-cos(x))=-cos(x)cos(3x)-3Psen(3x)cos(x)\)

Juntando tudo

\(Psen(3x)cos(x)=sen(x)sen(3x)-3(-cos(x)cos(3x)-3Psen(3x)cos(x))\)

\(Psen(3x)cos(x)=sen(x)sen(3x)+3cos(x)cos(3x)+3Psen(3x)cos(x))\)

\(2Psen(3x)cos(x)=-sen(x)sen(3x)-3cos(x)cos(3x)\)

\(Psen(3x)cos(x)=-\frac{1}{2}(sen(x)sen(3x)+3cos(x)cos(3x))\)

Não sei se está tudo correto ou se há algum erro de cálculo mas o método é este

Saudações

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João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Fiz assim:
\(sen(3x) = sen(2x + x)\)

\(sen(3x) = sen(2x).cosx + cos(2x).senx\)

\(sen(3x) = cosx[sen(x + x)] + senx[cos(x + x)]\)

\(sen(3x) = cosx(2.senx.cosx) + senx(cos^2x - sen^2x)\)

\(sen(3x) = 2.senx.cos^2x + senx.cos^2x - sen^3x\)

\(sen(3x) = 3.senx.cos^2x - sen^3x\)

Multiplicando por \(cosx\):
\(cosx.sen(3x) = 3.senx.cos^3x - cosx.sen^3x\)

Então,
\(\int sen(3x).cosx.dx = \int 3.senx.cos^3x - cosx.sen^3x.dx\)

Segue...
\(\int 3.senx.cos^3x.dx - \int cosx.sen^3x.dx =\)

Por substituição simples:
\(cosx = \alpha\) =====> \(d\alpha = - senx.dx\)

\(sen x = \beta\) =====> \(d\beta = cosx.dx\)

\(\int - 3.\alpha^3d\alpha - \int \beta ^3d\beta =\)

\(\left [ \frac{- 3\alpha ^4}{4} \right ] - \left [ \frac{\beta ^4}{4} \right ]\)

\(\left [ \frac{- 3cos^4x}{4} \right ] - \left [ \frac{sen^4x}{4} \right ] + C\)

\(- \frac{3cos^4x}{4} - \frac{sen^4x}{4} + C\)

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Muito interessante a sua resolução meu caro...

Os meus parabéns

Saudações

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João Pimentel Ferreira
 
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Olá João,
Sinto-me lisonjeado pelos parabéns! Afinal és uma fera na Matemática.

Até breve!!

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Daniel Ferreira
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Aqui não há felinos meu caro

Caminhamos todos, com esforço, dedicação e filantropia, para Pitagóricos...

Um abraço

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João Pimentel Ferreira
 
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