Brutal, excelente solução caro Davi Constant
Não chegava lá tão cedo, parabéns
Um abraço
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| Integral - Substituição Trigonométrica (Por Seno) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=3562 |
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| Autor: | raimundojr [ 12 set 2013, 00:08 ] |
| Título da Pergunta: | Integral - Substituição Trigonométrica (Por Seno) |
Utilizando a seguinte substituição trigonométrica \(y=4sen \theta\) mostre que o resultado de \(\int\limits_{}^{}y^3sqrt(16-y^2)dy\) é igual a \(\frac{-(3y^2+32)sqrt((16-y^2)^3)}{15}\) acrescido de uma constante real. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 12 set 2013, 08:25 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral - Substituição Trigonométrica (Por Seno) |
Repare que com a substituição \(y=4sen \theta\) esta expressão \(\sqrt{16-y^2}=\sqrt{16-(4sen \theta)^2}=\sqrt{16-16.sen^2 \theta}=\sqrt{16(1-sen^2 \theta)}=4\cos \theta\) lembre-se que \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta=1\) o que implica que \(\cos \theta =\sqrt{1-\sin^2 \theta}\) lembre-se ainda que \(\frac{dy}{d\theta}=4 cos\theta\) logo \(dy=4 cos\theta d\theta\) caso ainda tenha dúvidas diga... Abraços |
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| Autor: | raimundojr [ 13 set 2013, 20:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral - Substituição Trigonométrica (Por Seno) |
Pelo que foi mencionado, consegui chegar até aqui: \(\int y^3\sqrt{16-y^2}dy=\int (4sen\theta)^3\sqrt{16}\sqrt{1-sen^2\theta}(4cos\theta d\theta)=\int 2^{10}sen^3\theta cos^2\theta d\theta\) Qual é o próximo passo? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 14 set 2013, 12:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral - Substituição Trigonométrica (Por Seno) |
Apenas uma ideia, tente usar a regra da integral da potência \(\int u' u^n dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}\) apenas outra ideia, repare ainda que sabendo \(sen(2\theta)=2 cos(\theta) sen(\theta)\) tem-se \(\int 2^{10}sen^3\theta cos^2\theta d\theta=\int 2^{8}sen\theta sen^2(2\theta) d\theta\) sabendo ainda que \(\sin^2\theta=\frac{1-cos(2\theta)}{2}\) fica-se com \(\int 2^{8}sen\theta sen^2(2\theta) d\theta=\int 2^{7}sen\theta (1-cos(4\theta)) d\theta\) veja mais aqui https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_t ... on_formula continue... |
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| Autor: | Davi Constant [ 14 set 2013, 23:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral - Substituição Trigonométrica (Por Seno) |
Bom, para \(\large x=4sin\theta\rightarrow dx=4cos\theta d\theta\) Podemos, então, reescrever a integral como \(\large 4^5\int sin^3\theta cos^2\theta d\theta=4^5\int sin\theta(1-cos^2\theta)cos^2\theta d\theta=4^5 \int (cos^2\theta-cos^4\theta)sin\theta d\theta\) Fazemos \(\large cos\theta=u\rightarrow du=-sin\theta d\theta\) Daí vem que: \(\large 4^5\int u^4-u^2du=\frac{4^5}{5}u^5-\frac{4^5}{3}u^3+C=\frac{4^5}{5}cos^5\theta-\frac{4^5}{3}cos^3\theta+C=\frac{4^5}{5}\left ( \frac{\sqrt{16-x^2}}{4} \right )^5-\frac{4^5}{3}\left ( \frac{\sqrt{16-x^2}}{4} \right )^3+C=\) que é algebricamente igual a \(\large -\frac{(3x^2+32)\cdot \sqrt{(16-x^2)^3}}{15}+C\) Espero ter ajudado, qualquer dúvida, sinalize. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 15 set 2013, 01:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral - Substituição Trigonométrica (Por Seno) |
Brutal, excelente solução caro Davi Constant Não chegava lá tão cedo, parabéns Um abraço |
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