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quero saber como se faz a integral de sec(x)dx utilizando o metodo de funções racionais de seno e cosseno.
aquele método no qual se substitui Z=tg(x/2) cos(x)=(1-z²)/(1+z²) e sen(x)=2Z/1+Z²

Obrigado.

Ora então meu caro

\(\int sec x dx= \int \frac{1}{cos x}dx\)

Nesta técnica de substituição tem-se:

\(z=tg\left(\frac{x}{2}\right)\)

\(\frac{dx}{dz}=\frac{2}{1+z^2}\)

\(cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2}\)

Assim:

\(\int \frac{1}{cos x}dx=\int \frac{1}{\frac{1-z^2}{1+z^2}}\frac{2}{1+z^2}dz=2\int \frac{1}{1-z^2}dz=2\int \frac{1}{(1-z)(1+z)}dz=2\int \left( \frac{1/2}{z+1}-\frac{1/2}{z-1}\right)dz=\)

\(= ln\left(\frac{z+1}{z-1}\right)+C= ln\left(\frac{tg\left(\frac{x}{2}\right)+1}{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1}\right)+C\)

Não garanto que os cálculos estejam certos mas o caminho é este...

Saudações

Volte sempre

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Confirma-se, está correto

Vede isto

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sim, até ai eu fiz, parei em ln l(1+cosx+senx)/(1+cosx-senx)l

se igualar isso á ln lsecx+tgxl prova-se que é verdadeiro, mas como chegar em ln l secx+tgx l sómente desdobrando a formula?

Não percebo o que pretende

O resultado final é:

\(ln\left(\frac{tg\left(\frac{x}{2}\right)+1}{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1}\right)+C\)

Pode no entanto ser apresentado com outras funções trigonométricas, mas este resultado final está correto...

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como chegar trigonométricamente apartir dai em .. ln l sec(x) + tg(x) l

Ora então...

Lembre-se que a mesma função, tem várias primitivas (a constante C)

Assim temos:

\(ln\left|\frac{tg(\frac{x}{2})+1}{tg(\frac{x}{2})+1}\right|+C\)

Lembre-se que:

\(tg(\frac{x}{2})=\frac{sen x}{1+cos x}\)

Assim:

\(ln\left|\frac{tg(\frac{x}{2})+1}{tg(\frac{x}{2})+1}\right|+C=ln\left|\frac{\frac{sen x}{1+cos x}+1}{\frac{sen x}{1+cos x}+1}\right|+C=ln\left|\frac{sen x + cos x +1}{sen x - cos x -1}\right|+C=\)

Dividindo o numerador e o denominador da fração por \(cos x\)

\(=ln\left|\frac{tg x + sec x +1}{tg x - sec x -1}\right|+C=ln\left|\frac{tg x + sec x}{tg x + sec x}\times\frac{tg x + sec x +1}{tg x - sec x -1}\right|+C=ln\left|(tg x + sec x)\times\frac{tg x + sec x +1}{(tg x + sec x)(tg x - sec x -1)}\right|+C=\)

\(=ln\left|(tg x + sec x)\times\frac{tg x + sec x +1}{tg^2x-sec^2x-(tg x + sec x)}\right|+C=\)

Lembre-se da igualdade trigonométrica

\(tg^2x+1=sec^2x\)

Assim, continuando:

\(=ln\left|(tg x + sec x)\times(-1)\right|+C=ln\left|(tg x + sec x)\right|+ln|-1|+C=ln\left|tg x + sec x\right|+C\)

c.q.d.

Saudações

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