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| Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=358 |
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| Autor: | rycherr [ 08 mai 2012, 04:37 ] |
| Título da Pergunta: | Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z |
quero saber como se faz a integral de sec(x)dx utilizando o metodo de funções racionais de seno e cosseno. aquele método no qual se substitui Z=tg(x/2) cos(x)=(1-z²)/(1+z²) e sen(x)=2Z/1+Z² Obrigado. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 08 mai 2012, 15:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z |
Ora então meu caro \(\int sec x dx= \int \frac{1}{cos x}dx\) Nesta técnica de substituição tem-se: \(z=tg\left(\frac{x}{2}\right)\) \(\frac{dx}{dz}=\frac{2}{1+z^2}\) \(cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2}\) Assim: \(\int \frac{1}{cos x}dx=\int \frac{1}{\frac{1-z^2}{1+z^2}}\frac{2}{1+z^2}dz=2\int \frac{1}{1-z^2}dz=2\int \frac{1}{(1-z)(1+z)}dz=2\int \left( \frac{1/2}{z+1}-\frac{1/2}{z-1}\right)dz=\) \(= ln\left(\frac{z+1}{z-1}\right)+C= ln\left(\frac{tg\left(\frac{x}{2}\right)+1}{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1}\right)+C\) Não garanto que os cálculos estejam certos mas o caminho é este... Saudações Volte sempre |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 08 mai 2012, 15:25 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z |
Confirma-se, está correto Vede isto Saudações |
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| Autor: | rycherr [ 08 mai 2012, 19:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z |
sim, até ai eu fiz, parei em ln l(1+cosx+senx)/(1+cosx-senx)l se igualar isso á ln lsecx+tgxl prova-se que é verdadeiro, mas como chegar em ln l secx+tgx l sómente desdobrando a formula? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 08 mai 2012, 20:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z |
Não percebo o que pretende O resultado final é: \(ln\left(\frac{tg\left(\frac{x}{2}\right)+1}{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1}\right)+C\) Pode no entanto ser apresentado com outras funções trigonométricas, mas este resultado final está correto... |
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| Autor: | rycherr [ 09 mai 2012, 02:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z |
como chegar trigonométricamente apartir dai em .. ln l sec(x) + tg(x) l |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 09 mai 2012, 11:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z |
Ora então... Lembre-se que a mesma função, tem várias primitivas (a constante C) Assim temos: \(ln\left|\frac{tg(\frac{x}{2})+1}{tg(\frac{x}{2})+1}\right|+C\) Lembre-se que: \(tg(\frac{x}{2})=\frac{sen x}{1+cos x}\) Assim: \(ln\left|\frac{tg(\frac{x}{2})+1}{tg(\frac{x}{2})+1}\right|+C=ln\left|\frac{\frac{sen x}{1+cos x}+1}{\frac{sen x}{1+cos x}+1}\right|+C=ln\left|\frac{sen x + cos x +1}{sen x - cos x -1}\right|+C=\) Dividindo o numerador e o denominador da fração por \(cos x\) \(=ln\left|\frac{tg x + sec x +1}{tg x - sec x -1}\right|+C=ln\left|\frac{tg x + sec x}{tg x + sec x}\times\frac{tg x + sec x +1}{tg x - sec x -1}\right|+C=ln\left|(tg x + sec x)\times\frac{tg x + sec x +1}{(tg x + sec x)(tg x - sec x -1)}\right|+C=\) \(=ln\left|(tg x + sec x)\times\frac{tg x + sec x +1}{tg^2x-sec^2x-(tg x + sec x)}\right|+C=\) Lembre-se da igualdade trigonométrica \(tg^2x+1=sec^2x\) Assim, continuando: \(=ln\left|(tg x + sec x)\times(-1)\right|+C=ln\left|(tg x + sec x)\right|+ln|-1|+C=ln\left|tg x + sec x\right|+C\) c.q.d. Saudações |
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| Autor: | kinu [ 18 mai 2012, 15:32 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z | ||
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