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| Primitiva por substituição (com x=sec(t)) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=369 |
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| Autor: | emsbp [ 13 mai 2012, 20:47 ] |
| Título da Pergunta: | Primitiva por substituição (com x=sec(t)) |
Boa tarde. É pedido para calcular \(\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx\), por substituição de x=sec(t). Ora, segundo os meus cálculos e tendo em conta que se x= sec(t), dx=tg(t)sec(t) e t=arc cos(1/x), o integral será igual a \(arc cos (\frac{1}{x}) + c\). No entanto, é apresentado como resultado, no manual onde retirei o exercício, \(-arctg(cotg(arccos (x))+c\). Como chegar ao resultado indicado? Obrigado! |
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| Autor: | danjr5 [ 13 mai 2012, 23:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Primitiva por substituição (com x=sec(t)) |
Acho que sua resposta está correta! Fiz assim: Desenhei um triângulo retângulo de hipotenusa x, cateto oposto a \(\theta\) valendo \(\sqrt{x^2 - 1}\) e adjacente 1. Com isso, \(cos\theta = \frac{1}{x}\) ======> \(x = \frac{1}{cos\theta}\) ======> \(dx = \frac{sen\theta }{cos^2\theta}d\theta\) \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} . \frac{1}{x}dx =\) \(\int \frac{1}{\sqrt{\frac{sen^2\theta }{cos^2\theta }}} . cos\theta .\frac{sen\theta }{cos^2\theta }d\theta =\) \(\int \frac{cos\theta }{sen\theta} . cos\theta .\frac{sen\theta }{cos^2\theta }d\theta =\) \(\int 1 =\) \(\left [ \theta \right ]=\) \(\left [ arc cos (\frac{1}{x}) \right ]=\) \(arc cos (\frac{1}{x}) + C\) |
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