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Integral de sen(sqrt(x))dx https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=38	Página 1 de 1

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Autor:	teoriabla [ 29 ago 2011, 22:44 ]
Título da Pergunta:	Integral de sen(sqrt(x))dx
Olá! Alguém poderia me ajudar a calcular \(\int \text sen \sqrt x dx\) Estou tentando resolver um exercício no livro de james stewart (exercício 27, capítulo 7.1). É pedido para aplicar primeiro uma substituição e depois aplicar integração por partes. Já fiz algumas tentativas e chego em \(-\sqrt{x} \text{cos} \sqrt{x} + \text{sen} \sqrt{x}\) quando o resultado deveria ser \(2(-\sqrt{x} \text{cos} \sqrt{x} + \text{sen} \sqrt{x})\) Obrigado.

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Autor:	João P. Ferreira [ 30 ago 2011, 01:05 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral de sen(sqrt(x))dx
Meu caro Respondo-lhe a essa questão com todo o gosto O que quer calcular é a seguinte primitiva: \(P sen{\sqrt{x}}\) Façamos a seguinte substituição: \(\sqrt{x}=t\) Temos então que: \(x=t^2 \ \ \frac{dx}{dt}=2t\) Substituindo ficamos então com: \(P sen{\sqrt{x}} = P sen{(t)}2t\) Aplicamos agora a primitivação por partes \(u'=sen{t} \ \ u=-cos{t} \\ v=2t \ \ v'=2\) \(P sen{(t)}2t = -cos(t)2t-P2(-cos(t))= -cos(t)2t+2Pcos(t)=\\ =-cos(t)2t+2.sen(t) + C = 2 (-t.cos(t)+sen(t)) + C\) fazendo agora a substituição inicial \(t=\sqrt{x}\) \(=2(-\sqrt{x}.cos{\sqrt{x}}+sen{\sqrt{x}}) + C\) Volta sempre meu caro

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Autor:	teoriabla [ 30 ago 2011, 01:17 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral de sen(sqrt(x))dx
Muito obrigado pela resposta mas ainda me restou uma dúvida Eu praticamente a mesma coisa entretanto retirei o multiplicador 2 da variável t para fora da integral... assim: \(\int 2t \text{sen}t dt = 2 \int t \text{sen} dt\) e continuei integrando por partes... é errado retirar o 2 para fora da integral ao fazer isso? se sim, porque? dado que a \(\int a f(x) dx = a \int f(x)\) Muito obrigado

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Autor:	João P. Ferreira [ 30 ago 2011, 10:46 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral de sen(sqrt(x))dx
Não é errado tirar o 2. Pode fazer com o 2 fora ou dentro do integral. É indiferente \(\int{af(x)}dx=a\int{f(x)}dx\) Resolvendo o que pretende por partes temos: \(2\int{t.sen(t)}dt=2(-cos(t).t-\int{(-cos(t))}dt)=\\ =2(-cos(t).t+\int{cos(t)}dt)=\\ =2(-cos(t).t+sen(t))\) Fazendo \(t=\sqrt{x}\) tem o resultado que pretende Saudações matemáticas

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