mat Escreveu:
Verifique se a integral indo de 1 a infinito de 1/ (x²-0,1)^1/2 dx converge ou não
Desde já, Obrigada!
olá
\(\\\\\\ \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{x^{2}-0,1}}dx=\lim_{p\rightarrow +\infty }\int_{1}^{p}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-0,1}}dx\)
para integrar \(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-0,1}}\) , utilize a substituição trigonométrica \(sec\theta=\frac{x}{\sqrt{0,1}}\) , feito isso obterá como resposta: \(ln|\frac{x}{\sqrt{0,1}}+\sqrt{\frac{x}{\sqrt{0,1}}-1}|\)
continuando:
\(\\\\\\ \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{x^{2}-0,1}}dx=\lim_{p\rightarrow +\infty }ln|\frac{p}{\sqrt{0,1}}+\sqrt{\frac{p}{\sqrt{0,1}}-1}|-ln|\frac{1}{\sqrt{0,1}}+\sqrt{\frac{1}{\sqrt{0,1}}-1}|\)
perceba agora que \(\lim_{p\rightarrow +\infty }ln|\frac{p}{\sqrt{0,1}}+\sqrt{\frac{p}{\sqrt{0,1}}-1}=+\infty\) , então :
\(\\\\\\ \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{x^{2}-0,1}}dx=+\infty-ln|\frac{1}{\sqrt{0,1}}+\sqrt{\frac{1}{\sqrt{0,1}}-1}| \\\\\\ \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{x^{2}-0,1}}dx=+\infty\)
espero que seja isso,qualquer dúvida retorne.
att
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