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Determine para que valores de
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Autor:  vinipro7 [ 07 Oct 2013, 18:45 ]
Título da Pergunta:  Determine para que valores de
Determine para que valores de \(\alpha \epsilon \mathbb{R}\) a integral imprópria

\(\int_{0}^{+\infty }\frac{(x+1)^\alpha }{\sqrt[3]{x^6+x+1}}dx\) é convergente
Autor:  Man Utd [ 24 fev 2014, 21:34 ]
Título da Pergunta:  Re: Determine para que valores de
Utilizando o critério da comparação:


Sabemos que : \(\; 0<\; \frac{(x+1)^{\alpha}}{\sqrt[3]{x^6+x+1}}\; \leq \; \frac{(x+1)^{\alpha}}{\sqrt[3]{x+1}}\) , para TODO \(x\geq 0\)



Então se a integral \(\int_{0}^{+\infty} \; \frac{(x+1)^{\alpha}}{\sqrt[3]{x+1}}\; dx\) convergir, a integral \(\int_{0}^{+\infty }\;\frac{(x+1)^\alpha }{\sqrt[3]{x^6+x+1}}\; dx\) também convergirá.


Segue que :

\(\int_{0}^{+\infty} \; \frac{(x+1)^{\alpha}}{\sqrt[3]{x+1}}\; dx=\; \lim_{p \to +\infty} \; \int_{0}^{p} \; \frac{(x+1)^{\alpha}}{\sqrt[3]{x+1}}\; dx\)



\(\int_{0}^{+\infty} \; \frac{(x+1)^{\alpha}}{\sqrt[3]{x+1}}\; dx=\; \lim_{p \to +\infty} \; \frac{3(p+1)^{a+\frac{2}{3}}}{3a+2}-\frac{3}{3a+2}\)



Veja que na primeira parcela do limite, se o expoente de \((p+1)\) , que é :\(a+\frac{2}{3}\) for negativo, poderemos aplicar a propriedade de potência : \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\), como o numerador é uma constante e o denominador seria \(+\infty\) então a primeira parcela do limite seria \(0\), sobrando a segunda parcela do limite que é um valor real.


Então os valores de \(\alpha\) que farão a integral imprópria convergir são tais que:

\(\alpha+\frac{2}{3}<0 \;\; \rightarrow \;\; \alpha<-\frac{2}{3}\) , Observe que se \(\alpha=-\frac{2}{3}\) , zeraria o denominador e faria a integral divergir.


\(\LARGE \fbox{\fbox{\fbox{\fbox{ \mathbb{S}=\left{\alpha \;\; \epsilon \;\; \mathbb{R} \;\; \left| \;\; \alpha<-\frac{2}{3} \right}}}}}\)
Autor:  Sobolev [ 25 fev 2014, 12:43 ]
Título da Pergunta:  Re: Determine para que valores de
Só para completar a resposta:

Os cálculos que realizou mostram que se \(\alpha < -2/3\) o integral é convergente, mas não excluem a possibilidade de este ser convergente para outros valores de \(\alpha\). De facto, observando o crescimento da função integranda, concluímos que o integral impróprio deverá ter a mesma natureza que

\(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{1/2-\alpha}}\,dx\)

que é convergente se e só se \(1/2-\alpha > 1 \Leftrightarrow \alpha < -\frac 12\).
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