Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Estou a tentar resolver um exercício para descobrir uma área.
Como é que se resolve este integral?
4*∫ (entre 0 e a) b * √[(1- (x²/a^2)]

Obrigada (:

Seria isto \(4*\int_{0}^{a}\; b*\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \;dx\) ? se for segue a resolução:


\(4b*\int_{0}^{a} \; \sqrt{1-(\frac{x}{a})^2} \; dx\)



use a substituição: \(u=\frac{x}{a} \, \rightarrow \, du=\frac{1}{a}\) , os intervalos da integral ficarão: para \(x=0\) \(u=0\) ,para \(x=a\) \(u=1\) então:


\(4ba*\int_{0}^{1} \; \sqrt{1-u^2} du\)


use a substituição trigonométrica : \(u=\sin\theta\;\; \rightarrow \;\; du=\cos\theta \;d\theta\)


\(4ba*\int \sqrt{1-sen^{2} \theta}*cos \theta \; d\theta\)


\(4ba*\int cos^{2} \theta \; d\theta\)


para integrar \(cos^{2}\theta\) lembre-se da relação trigonométrica : \(cos^{2} \theta=\frac{cos(2\theta)+1}{2}\)


\(2ba*\int cos(2\theta) +1 \;d\theta\)

\(2ba*(\frac{sen(2\theta)}{2}+\theta )\)

\(2ba*(sen\theta*cos\theta+\theta )\)

Agora perceba que teremos que voltar a variável \(u\) para podermos aplicar os limites de integração (poderíamos conseguir um intervalo correspondente e não teríamos que voltar a variável \(u\) como fizermos na primeira substituição ) , sabemos que \(u=sen(\theta)\) e que \(\theta=arc \; sen \, u\) e por último que \(cos\theta=\sqrt{1-sen^{2}\theta} \;\;\; \rightarrow \;\;\; cos\theta=\sqrt{1-u^2}\) então:


\(\frac{2b}{a}*(u*\sqrt{1-u^2}+arc \; sen \, u)\) bastar aplicar o intervalo de 0 a 1 para obter a resposta.

Man Utd

Será que pode explicar porquê que utilizou u = x/a ?

Obrigada!

Olá


utilizei a substituição \(u=\frac{x}{a}\) para deixar a integral mais simples para depois aplicar a susbtituição trigonométrica. Mas eu poderia aplicar a susbtituição trigonométrica direto ficando assim:

\(\frac{x}{a}=sen\theta \;\; \Rightarrow \;\; dx=a*cos\theta \; d\theta\)

ah! Obrigada!