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| resolver integral https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=4679 |
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| Autor: | JéssicaEGP [ 28 dez 2013, 20:32 ] |
| Título da Pergunta: | resolver integral |
Estou a tentar resolver um exercício para descobrir uma área. Como é que se resolve este integral? 4*∫ (entre 0 e a) b * √[(1- (x²/a^2)] Obrigada (: |
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| Autor: | Man Utd [ 28 dez 2013, 21:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: resolver integral |
JéssicaEGP Escreveu: Estou a tentar resolver um exercício para descobrir uma área. Como é que se resolve este integral? 4*∫ (entre 0 e a) b * √[(1- (x²/a^2)] Obrigada (: Seria isto \(4*\int_{0}^{a}\; b*\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \;dx\) ? se for segue a resolução: \(4b*\int_{0}^{a} \; \sqrt{1-(\frac{x}{a})^2} \; dx\) use a substituição: \(u=\frac{x}{a} \, \rightarrow \, du=\frac{1}{a}\) , os intervalos da integral ficarão: para \(x=0\) \(u=0\) ,para \(x=a\) \(u=1\) então: \(4ba*\int_{0}^{1} \; \sqrt{1-u^2} du\) use a substituição trigonométrica : \(u=\sin\theta\;\; \rightarrow \;\; du=\cos\theta \;d\theta\) \(4ba*\int \sqrt{1-sen^{2} \theta}*cos \theta \; d\theta\) \(4ba*\int cos^{2} \theta \; d\theta\) para integrar \(cos^{2}\theta\) lembre-se da relação trigonométrica : \(cos^{2} \theta=\frac{cos(2\theta)+1}{2}\) \(2ba*\int cos(2\theta) +1 \;d\theta\) \(2ba*(\frac{sen(2\theta)}{2}+\theta )\) \(2ba*(sen\theta*cos\theta+\theta )\) Agora perceba que teremos que voltar a variável \(u\) para podermos aplicar os limites de integração (poderíamos conseguir um intervalo correspondente e não teríamos que voltar a variável \(u\) como fizermos na primeira substituição ) , sabemos que \(u=sen(\theta)\) e que \(\theta=arc \; sen \, u\) e por último que \(cos\theta=\sqrt{1-sen^{2}\theta} \;\;\; \rightarrow \;\;\; cos\theta=\sqrt{1-u^2}\) então: \(\frac{2b}{a}*(u*\sqrt{1-u^2}+arc \; sen \, u)\) bastar aplicar o intervalo de 0 a 1 para obter a resposta. |
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| Autor: | ARGA [ 29 dez 2013, 21:51 ] |
| Título da Pergunta: | Re: resolver integral |
Man Utd Será que pode explicar porquê que utilizou u = x/a ? Obrigada! |
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| Autor: | Man Utd [ 30 dez 2013, 00:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: resolver integral |
ARGA Escreveu: Man Utd Será que pode explicar porquê que utilizou u = x/a ? Obrigada! Olá  utilizei a substituição \(u=\frac{x}{a}\) para deixar a integral mais simples para depois aplicar a susbtituição trigonométrica. Mas eu poderia aplicar a susbtituição trigonométrica direto ficando assim: \(\frac{x}{a}=sen\theta \;\; \Rightarrow \;\; dx=a*cos\theta \; d\theta\) |
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| Autor: | ARGA [ 30 dez 2013, 02:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: resolver integral |
ah! Obrigada!
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