Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde,
estou a tentar resolver este integral:
∫x^2*√(4-x^2) dx

Considerei x=√4*sent
resolvi e cheguei à expressão:
2*t -1/2*sen(4t)

Poderiam explicar-me como que fazer a seguir?

\(\int \;x^2*\sqrt{4-x^2} \; dx\)


\(\int \; x^2*2*\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\; dx\)


\(2*\int \; x^2*\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2} \; dx\)


\(\frac{x}{2}=sen(\theta) \;\;\; \Rightarrow \;\;\; dx=2*cos(\theta) \; d\theta\)


\(4*\int \; sen^2(\theta)*cos(\theta)*cos(\theta) \; d\theta\)


\(4*\int \; sen^{2}(\theta)*cos^{2}(\theta) \; d\theta\)


da identidade: \(sen^{2}(2\theta)=4*sen^{2}(\theta)*cos^{2}(\theta)\)


\(\int \; sen^{2}(2\theta) \; d\theta\)


da identidade : \(sen^{2}(2\theta)=\frac{1-cos(4\theta)}{2}\)


\(\frac{1}{2}*(\int \; 1 \; d\theta - \int \; cos(4\theta) \; d\theta)\)


\(\frac{1}{2}*(\theta-\frac{sen(4\theta)}{4})+C\)


perceba que temos que voltar a variável a variável "x", sabemos que \(\frac{x}{2}=sen\theta \;\; \Rightarrow \;\; \theta= arc \; sen(\frac{x}{2})\), e tbm sabemos que:


\(sen(4\theta)=2*sen(2\theta)*cos(2\theta)\)


\(sen(4\theta)=2*2*sen(\theta)*cos(\theta)*(cos^{2}(\theta)-sen^{2}(\theta))\)


\(sen(4\theta)=4*sen(\theta)*cos(\theta)*(1-2sen^{2}(\theta))\)


\(sen(4\theta)=4*\frac{x}{2}*\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}*(1-2*\frac{x^2}{4})\)

\(2x*\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}*(1-\frac{x^2}{2})\)


então a resposta é:

\(\LARGE \fbox{\fbox{\fbox{\frac{1}{2}*(arc \; sen(\frac{x}{2})-\frac{2x*\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}*(1-\frac{x^2}{2})}{4})+C}}}\)