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Integração por substituição do integral ∫x^2*√(4-x^2) dx https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=4707	Página 1 de 1

Autor:	biotec [ 03 jan 2014, 18:57 ]
Título da Pergunta:	*Integração por substituição do integral ∫x^2√(4-x^2) dx**
Boa tarde, estou a tentar resolver este integral: ∫x^2√(4-x^2) dx Considerei x=√4sent resolvi e cheguei à expressão: 2t -1/2sen(4t) Poderiam explicar-me como que fazer a seguir?

Autor:	Man Utd [ 03 jan 2014, 22:30 ]
Título da Pergunta:	*Re: Integração por substituição do integral ∫x^2√(4-x^2) dx [resolvida]**
\(\int \;x^2\sqrt{4-x^2} \; dx\) \(\int \; x^22\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\; dx\) \(2\int \; x^2\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2} \; dx\) \(\frac{x}{2}=sen(\theta) \;\;\; \Rightarrow \;\;\; dx=2cos(\theta) \; d\theta\) \(4\int \; sen^2(\theta)cos(\theta)cos(\theta) \; d\theta\) \(4\int \; sen^{2}(\theta)cos^{2}(\theta) \; d\theta\) da identidade: \(sen^{2}(2\theta)=4sen^{2}(\theta)cos^{2}(\theta)\) \(\int \; sen^{2}(2\theta) \; d\theta\) da identidade : \(sen^{2}(2\theta)=\frac{1-cos(4\theta)}{2}\) \(\frac{1}{2}(\int \; 1 \; d\theta - \int \; cos(4\theta) \; d\theta)\) \(\frac{1}{2}(\theta-\frac{sen(4\theta)}{4})+C\) perceba que temos que voltar a variável a variável "x", sabemos que \(\frac{x}{2}=sen\theta \;\; \Rightarrow \;\; \theta= arc \; sen(\frac{x}{2})\), e tbm sabemos que: \(sen(4\theta)=2sen(2\theta)cos(2\theta)\) \(sen(4\theta)=22sen(\theta)cos(\theta)(cos^{2}(\theta)-sen^{2}(\theta))\) \(sen(4\theta)=4sen(\theta)cos(\theta)(1-2sen^{2}(\theta))\) \(sen(4\theta)=4\frac{x}{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}(1-2\frac{x^2}{4})\) \(2x\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}(1-\frac{x^2}{2})\) então a resposta é: \(\LARGE \fbox{\fbox{\fbox{\frac{1}{2}(arc \; sen(\frac{x}{2})-\frac{2x\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}*(1-\frac{x^2}{2})}{4})+C}}}\)

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