Fórum de Matemática
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Oi Pessoal,


Estou estudando Cálculo II e tenho tido bastante dificuldade em resolver integrais que envolvem mais de duas funções, integrando por partes.

Aí estão algumas:

\(\int x*sec(x) * tan (x)dx\\
\int sen (x)* ln(cos x)dx\)

Poderiam me ajudar? Tentei de várias maneiras, mas sempre chego em uma integral mais difícil de resolver.


Agradeço!

\(\int x \sec (x) \tan (x)\,dx = \int x \frac{\sin (x)}{\cos^2(x)} = - \int x \left[(\cos (x))' (\cos (x))^{-2}\right]\,dx =\)

Usando a primitivação por partes, vemos então que

\(\int x \sec (x) \tan (x)\,dx = -\left( \frac{(\cos(x))^{-1}}{-1} x - \int \frac{(\cos(x))^{-1}}{-1}\cdot 1\,dx \right)= \frac{x}{\cos(x)}-\int \frac{1}{\cos(x)}\,dx = x \sec (x) - \log|\sec(x) + \tan(x)|+C\)

\(\int \sin(x) \log(\cos(x))\,dx= -\cos(x) \log(\cos(x)) - \int -\cos(x) \frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\,dx=
-\cos(x)\log(\cos(x))-\int \sin(x)\,dx = -\cos(x)\log(\cos(x)) + \cos(x) + C\)

Outra maneira para a primeira questão :


\(u=x \;\;\;\;\;\; dv=secx*tgx \; dx\)


\(du=dx \;\;\;\;\; v=sec x\)


Então:


\(\int \; x*secx*tgx \; dx=x*secx-\int \; secx \; dx\)


\(\int \; x*secx*tgx \; dx=x*secx-\ln|secx+tgx|+C\)