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| Integral por meio da soma de Riemann https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=4888 |
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| Autor: | dandi [ 26 jan 2014, 06:08 ] |
| Título da Pergunta: | Integral por meio da soma de Riemann |
Gostaria de saber como resolver esta integral através da soma de Riemann (especificamente). 1 ∫(x²-x)dx 0 (integral indo de 0 a 1) Obrigada. |
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| Autor: | Sobolev [ 27 jan 2014, 13:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral por meio da soma de Riemann [resolvida] |
Em primeiro lugar trata-se de uma função contínua no intervalo [0,1] e por isso integrável à Riemann nesse intervalo. Tendo em conta a linearidade do integral relativamente à função integranda, calculemos separadamente os integrais de \(x\) e de \(x^2\). Em primeiro lugar é necessário considerar uma famíla de partições do intervalo [0,1] cuja amplitude tenda para zero. O mais simples será considerarmos partições com pontos igualmente espaçados no ontervalo [0,1], p.ex. \(\mathcal{P}_n = \left\{0, \quad \frac{1}{n}\quad, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}\quad , 1\right\}\) 1. Cálculo de \(\int_0^1 x \,dx\) Uma soma de Riemann associada à partição antes definida é \(\sum_{k=0}^n x_k (x_{k+1}-x_k) = \sum_{k=0}^n \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^n k = \frac{1}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}\) Ora, fazendo \(n \to +\infty\) estas somas de Riemann tendem para 1/2, que será o valor do integral. 2. Cálculo de \(\int_0^1 x^2 \,dx\) Uma soma de Riemann associada à partição antes definida é \(\sum_{k=0}^n x_k^2 (x_{k+1}-x_k) = \sum_{k=0}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3}\sum_{k=0}^n k^2 = \frac{1}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) Ora, fazendo \(n \to +\infty\) estas somas de Riemann tendem para 1/3, que será o valor do integral. Finalmente, \(\int_0^1(x^2-x) \,dx = \int_0^1 x^2 \, dx - \int_0^1 x \, dx = \frac 13 - \frac 12 = -\frac 16.\) |
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