|
Em primeiro lugar trata-se de uma função contínua no intervalo [0,1] e por isso integrável à Riemann nesse intervalo. Tendo em conta a linearidade do integral relativamente à função integranda, calculemos separadamente os integrais de \(x\) e de \(x^2\).
Em primeiro lugar é necessário considerar uma famíla de partições do intervalo [0,1] cuja amplitude tenda para zero. O mais simples será considerarmos partições com pontos igualmente espaçados no ontervalo [0,1], p.ex.
\(\mathcal{P}_n = \left\{0, \quad \frac{1}{n}\quad, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}\quad , 1\right\}\)
1. Cálculo de \(\int_0^1 x \,dx\)
Uma soma de Riemann associada à partição antes definida é
\(\sum_{k=0}^n x_k (x_{k+1}-x_k) = \sum_{k=0}^n \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^n k = \frac{1}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}\)
Ora, fazendo \(n \to +\infty\) estas somas de Riemann tendem para 1/2, que será o valor do integral.
2. Cálculo de \(\int_0^1 x^2 \,dx\)
Uma soma de Riemann associada à partição antes definida é
\(\sum_{k=0}^n x_k^2 (x_{k+1}-x_k) = \sum_{k=0}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3}\sum_{k=0}^n k^2 = \frac{1}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Ora, fazendo \(n \to +\infty\) estas somas de Riemann tendem para 1/3, que será o valor do integral.
Finalmente,
\(\int_0^1(x^2-x) \,dx = \int_0^1 x^2 \, dx - \int_0^1 x \, dx = \frac 13 - \frac 12 = -\frac 16.\)
|
Entrar
Registar
FAQ
Pesquisar
