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Determine a função f sabendo que f' é contínua, f(0) e

\(\int arctg(\frac{f(x)'}{x})dx=x^3 +C\)

\(\frac{d}{dx}\int arctg(\frac{f(x)'}{x})dx=3x^2\)

\(arctg(\frac{f(x)'}{x})=3x^2\)

\(tg(arctg(\frac{f(x)'}{x}))=tg(3x^2)\)

\(\frac{f(x)'}{x}=tg(3x^2)\)

\(f(x)'=x.tg(3x^2)\)

\(\int f(x)'dx=\int x.tg(3x^2)dx\)

\(f(x)=\int x.tg(3x^2)dx + C\)

\(u=3x^2\)
\(du=6x\)

\(f(x)=\frac{1}{6}\int tg(u)du + C\)

\(f(x)=\frac{1}{6}ln|sec(3x^2)| + C\)