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calcular

\(\frac{1}{(x-1)(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-3}\)

\(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-3}=\frac{A(x+2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)(x-3)}\)

Como existe apenas o 1 multiplicando dx entao o numerador deve ser igual a 1.

\(A(x+2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x+2)=1\)

\(Ax^2-Ax-6A+Bx^2-4Bx+3B+Cx^2+Cx-2C=1\)

\(X^2(A+B+C)+x(-A-4B+C)+(-6A+3B-2C)=1\)

\(\left\{\begin{matrix} A+B+C=0 & & \\ -A-4B+C=0 & & \\ -6A+3B-2C=1 & & \end{matrix}\right.\)

Resolvendo esse sistema temos
\(A=\frac{-1}{6}\)

\(B=\frac{1}{15}\)

\(C=\frac{1}{10}\)

\(\int\frac{dx}{(x-1)(x+2)(x-3)}=\int\frac{-dx}{6(x-1)}+\int\frac{dx}{15(x+2)}+\int\frac{dx}{10(x-3)}\)

chamando por exemplo \(u=(x-1)\) entao \(du=dx\) isso vale pras outras frações tbm, entao temos

\(\int\frac{dx}{(x-1)(x+2)(x-3)}=\frac{-1}{6}\int\frac{du}{u}+\frac{1}{15}\int\frac{dv}{v}+\frac{1}{10}\int\frac{dw}{w}\)

\(\int\frac{dx}{(x-1)(x+2)(x-3)}=\frac{-ln(x-1)}{6}+\frac{ln(x+2)}{15}+\frac{ln(x-3)}{10}+C\)