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| Integral definida com função exponencial https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=5331 |
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| Autor: | engenharia [ 06 mar 2014, 15:28 ] |
| Título da Pergunta: | Integral definida com função exponencial |
Bom dia, Poderiam me ajudar na integral definida: \(\int_{0,2}^{0,4}e^{-x^2}dx\) Muito obrigado. |
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| Autor: | Sobolev [ 06 mar 2014, 20:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Definida |
Não dá para calcular de forma exacta (em termos das funções habitualmente usadas). Será que quer apenas uma aproximação numérica? |
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| Autor: | engenharia [ 06 mar 2014, 22:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Definida |
Sim, eu fiz uma parte mas da erro e não consegui chegar nem a um valor aproximado. Se puder me ajudar com o passo a passo já ajudaria muito. Obrigado. |
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| Autor: | Sobolev [ 07 mar 2014, 00:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Definida |
E qual o método numérico que pretende utilizar? O mais simples de implementar seria o método dos trapézios (composto). Qual o nível de precisão que pretende? |
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| Autor: | engenharia [ 07 mar 2014, 01:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Definida |
Nessa integral eu não consegui desenvolver muita coisa, mas uma precisão de 3 casas decimais estaria ótimo. E o método mais simples ta excelente tbm rs. Obrigado |
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| Autor: | Sobolev [ 07 mar 2014, 22:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Definida |
Para aplicar o método dos Trapézios deve considerar um conjunto de pontos igualmente espaçados no intervalo de integração, neste caso \(a = x_0, x_1, \cdots , x_n = b\) Deste modo terá \(x_i = a + i h, \quad h=\frac{b-a}{n}\) o método dos trapézios composto consiste na aproximação \(\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left( f(x_0)+f(x_n) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right)\) Para além disso tem a seguinte estimativa de erro: \(|E_n| \leq \frac{(b-a) h^2}{12} \sup_{]a,b[} |f''|\) Considerando a estimativa de erro para este caso específico, \(|E_n| \leq 0.5\times 10^{-4} \Leftarrow\frac{(b-a) h^2}{12} \sup_{]a,b[} |f''| \leq 0.5\times10^{-4}\Leftrightarrow \frac{(0.4-0.2) h^2}{12} 1.76785 <0.5\times 10^{-4} h \leq 0.0411943\) Assim, se quiser ter garantidamente 3 casas decimais de precisão deve aplicar a fórmula com n = 5. |
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| Autor: | engenharia [ 08 mar 2014, 13:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Definida |
Eu uso essa estimativa de erro multiplicando a integral de e^-x^2? |
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| Autor: | Sobolev [ 09 mar 2014, 00:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Definida |
A estimativa de erro apenas serve para saber quantas subdivisões do intervalo de integração devem ser consideradas na aplicação da regra do trapézios. Neste caso é n=5... Depois é só aplicar a fórmula dos trapézios (com n=5). |
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| Autor: | engenharia [ 09 mar 2014, 23:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Definida |
Não compreendi como aplicaria essa formula na integral? |
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| Autor: | Sobolev [ 10 mar 2014, 12:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Definida |
Então, tem que dividir o intervalo [0.2; 0.4] em cinco sub-intervalos. Considera pois a partição constituída pelos intervalos de extremos \(x_0 = 0.2, \quad x_1=0.24, \quad x_2 = 0.28, \quad x_3=0.32, \quad x_4=0.36, \quad x_5=0.4\) A fórmula fica \(\int_{0.2}^{0.4}e^{-x^2}\,dx \approx \frac{0.04}{2}(f(0.2)+2f(0.24)+2f(0.28)+2f(0.32)+2f(0.36)+f(0.4))=0.182248\) Como só temos a certeza das primeiras três casas decimais, pode deixar como 0.182. |
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