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Olá pessoal.

Gostaria de confirmar se meus cálculos estão corretos em relação à integral abaixo, que deve ser resolvida pelo método de frações parciais.

\(\int \frac{(x^3-1)dx}{x^2(x-2)}\)

\(x^3-1=Ax(x-2)+B(x-2)+Cx^2\)
Considerei x=2
\(2^3-1=A2(2-2)+B(2-2)+C(2)^2\)
\(7=4C \Rightarrow C=\frac{7}{4}\)

Depois considerei x=0
\(0^3-1=A0(0-2)+B(0-2)+C0^2\)
\(-1=-2B \Rightarrow B=\frac{1}{2}\)

Por último, considerei x=1
\(1^3-1=A(1)(1-2)+B(1-2)+C(1)^2\)
\(A=-\frac{1}{2}+\frac{7}{4}\)
\(4A=-2+7 \Rightarrow 4A=5 \Rightarrow A=\frac{5}{4}\)

Voltando à integral, temos:

\(\int (\frac{\frac{5}{4}}{x}+\frac{\frac{1}{2}}{x^2}+\frac{\frac{7}{4}}{x-2})dx\)
\(\frac{5}{4}\int \frac{dx}{x}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2}+\frac{7}{4}\int \frac{dx}{x-2}\)

\(\frac{5}{4}ln\left | x \right |-\frac{1}{2x}+\frac{7}{4}ln\left | x-2 \right |+C\)

No gabarito da minha apostila está com resultado diferente. Veja abaixo:
\(-\frac{1}{2x}+x+\frac{7}{4}ln\left | x-2 \right |+\frac{1}{4}ln\left | x \right |\)

Cometi algum erro nos meus cálculos?

A sua resolução não está correcta... Parte de uma premissa errada. A igualdade

\(x^3-1=Ax(x-2)+B(x-2)+Cx^2\)

nunca pode ser verificada para todo o x, já que de um lado tem um polinómio de grau 2 e do outro um polinómio de grau 3. Este método de atribuir valores a x para calcular as constantes é muito perigoso, na medida em que só funciona se nós fizermos de modo correcto a decomposição.

Neste exemplo, como os polinómios no numerador e denominador têm o mesmo grau, deve começar por proceder à sua divisão, de modo a obter uma expressão equivalente em que o grau do numerador seja inferior ao grau do denominador.

\(\int \frac{x^3-1}{x^2(x-2)} dx = \int \left( 1+\frac{2x^2-1}{x^2(x-2)}\right)dx = x+ \int \frac{2x^2-1}{x^2(x-2)}dx\)

Com este último integral o método que tentou antes já funcionará.