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| Integrais por Frações Parciais - Não consigo prosseguir com os cálculos. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=5957 |
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| Autor: | Nil [ 06 mai 2014, 09:16 ] |
| Título da Pergunta: | Integrais por Frações Parciais - Não consigo prosseguir com os cálculos. |
Olá. Eu de novo. Gostaria de saber se me perdi nos cálculos da integral abaixo, pois o gabarito da minha apostila está com resultado diferente. \(\int \frac{x^2-2x-3}{(x-1)(x^2+2x+2)}\) \(\int (\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+2x+2}\) \(x^2-2x-3=A(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x-1)\) Consideremos x=1 \(1^2-2(1)-3=A(1^2+2(1)+2)(B(1)+C)(1-1)\) \(-4=5A \Rightarrow A=-\frac{4}{5}\) Agora x=0 \(0^2-2(0)-3=A(0^2+2(0)+2)+(B(0)+C)(0-1)\) \(-3=2A-C \Rightarrow -3=2(-\frac{4}{5})-C\Rightarrow\) \(\Rightarrow -5C=-15+8 \Rightarrow -5C=-7 \Rightarrow C=\frac{7}{5}\) Por último, x=2 \(2^2-2(2)-3=A(2^2+2(2)+2)+(B(2)+C)(2-1)\) \(-3=10A+2B+C\) \(-3=10(-\frac{4}{5})+2B+\frac{7}{5}\) \(-10B=-40+7+15\) \(-10B=-18 \Rightarrow B=\frac{18}{10} \Rightarrow B=\frac{9}{5}\) Então ficamos com: \(\int(\frac{-\frac{4}{5}}{x-1}+\frac{\frac{9}{5}x+\frac{7}{5}}{x^2+2x+2}\) Não consigo dar prosseguimento as cálculos... Resultado final segundo gabarito da minha apostila: \(-\frac{2}{5}arctg(x+1)-\frac{4}{5}ln\left | x-1 \right |+\frac{9}{10}ln\left | x^2+2x+2 \right |\) |
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| Autor: | Sobolev [ 06 mai 2014, 09:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integrais por Frações Parciais - Não consigo prosseguir com os cálculos. |
Trata-se apenas de arranjar de modo conveniente o numerador da segunda parcela.. \(\int(\frac{-\frac{4}{5}}{x-1}+\frac{\frac{9}{5}x+\frac{7}{5}}{x^2+2x+2}\right) \,dx = \int \frac{-\frac{4}{5}}{x-1} \,dx + \int \frac{\frac{9}{5}x+\frac{7}{5}}{x^2+2x+2} dx = -\frac 45 \log |x-1| + \frac{9}{10}\int \frac{(2x+2) - \frac 49}{1+(x+1)^2}= -\frac 45 \log |x-1| + \frac{9}{10}\int \frac{2x+2}{x^2+2x+2} dx -\frac{9}{10}\cdot \frac{4}{9}\int \frac{1}{1+(x+1)^2}dx = -\frac 45 \log |x-1| + \frac{9}{10} \log|x^2+2x+2|- \frac{2}{5} \arctan (x+1) + K\) |
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| Autor: | Kito [ 06 mai 2014, 14:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integrais por Frações Parciais - Não consigo prosseguir com os cálculos. |
Sobolev. Não entendi muito bem como você fez esse arranjo do numerador da segunda parcela. Pode me explicar melhor? Com mais detalhes. |
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| Autor: | Sobolev [ 06 mai 2014, 20:48 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integrais por Frações Parciais - Não consigo prosseguir com os cálculos. |
Simplesmente multipliquei e dividi por uma constante de modo ao coeficiente de x no numerador ser 2. Fiz isto para tentar fazer aparecer no numerador a derivada do denominador (nesse caso a primitiva seria um logaritmo). Depois de fazer aparecer 2x no numerador, destaquei também a constante 2, ficando com 2x+2 (derivada do denominador), sobrando depois uma constante. |
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