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Bom dia a todos.
Fiz os cálculos da integral abaixo, mas não tá batendo com o gabarito do meu caderno de questões.
\(\int (\frac{x^4+2x+1}{x^3-x^2-2x})dx\)
Fiz a divisão dos polinômios, pois o numerador é maior do que o denominador:
\(\frac{x^4+0x^3+0x^2+2x+1}{x^3-x^2-2x}=x+1\)
Resto da divisão = \(3x^2+4x+1\)
Então a integral ficou assim:
\(\int (x+1)+\int \frac{3x^2+4x+1}{x^3-x^2-2x}\)
Resolvendo a primeira parte da integral fica: \(\frac{(x+1)^2}{2}\)
Agora resolvendo a segunda parte da integral, utilizando produtos notáveis no numerador, ficamos com:
\(\int (\frac{3x^2+4x+1}{x(x-2)(x+1)}\Rightarrow\)
\(\Rightarrow \int (\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+1})dx\)
Aplica-se MMC. Ficamos, então, com:
\(3x^2+4+1=A(x-2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-2)\)
Consideremos que x seja = -1
\(3(-1)^2+4+1=A(-1-2)(-1+1)+B(-1)(-1+1)+C(-1)(-1-2)\)
\(8=3C \Rightarrow C=\frac{8}{3}\)
Agora consideraremos x=2
\(3(2)^2+4+1=A(2-2)(2+1)+B(2)(2+1)+C2(2-2)\)
\(17=6B \Rightarrow B=\frac{17}{6}\)
Pra finalizar essa parte, consideremos x=0
\(3(0)^2+4+1=A(0-2)(0+1)+B(0)(0+1)+C(0)(0-2)\)
\(5=-2A\Rightarrow A=-\frac{5}{2}\)
Ficamos então, com a seguinte integral:
\(\int (-\frac{\frac{5}{2}}{x}+\frac{\frac{17}{6}}{x-2}+\frac{\frac{8}{3}}{x+1})dx\)
\(-\frac{5}{2}\int \frac{dx}{x}+\frac{17}{6}\int \frac{dx}{x-2}+\frac{8}{3}\int \frac{dx}{x+1}\)
\(-\frac{5}{2}ln\left | x \right |+\frac{17}{6}ln\left | x-2 \right |+\frac{8}{3}ln\left | x+1 \right |+C\)
Somando com o resultado anterior fica:
\(\frac{(x+1)^2}{2}\)+\(-\frac{5}{2}ln\left | x \right |+\frac{17}{6}ln\left | x-2 \right |+\frac{8}{3}ln\left | x+1 \right |+C\)
No gabarito do meu caderno de questões está da seguinte forma:
\(x+\frac{x^2}{2}+\frac{7}{2}ln\left | x-2 \right |-\frac{1}{2}ln\left | x \right |\)
Em que eu errei?
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