Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá, gente!

Sei como deve ser feito, porém não consigo evoluir nos cálculos dessa integral:
\(\int \frac{x^5+x+1}{x^3-8}\)

Fiz a divisão dos polinômio, pois o grau do polinômio do numerador é maior do que o denominador.

O resultado da divisão deu \(x^2\) e o resto deu \(8x^2+x+1\)
Com esses valores montei uma nova integral, conforme abaixo:
\(\int x^2+\int \frac{8x^2+x+1}{x^3-8}\)
Depois me concentrei em fatorar o denominador da segunda parcela da integral acima, fazendo:
\(x^3-8=(x-2)^3\)
\(\int (\frac{8x^2+x+1}{(x-2)^3})dx=\int (\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3})dx\)

Daqui para diante não estou conseguindo evoluir com os cálculos.
Alguém pode me ajudar?

Cuidado !

\(x^3 - 8 \neq (x-2)^3\) , bem como \(x^n - a^n \neq (x-a)^n\) para qualquer n natural e \(a \neq 0\) .A saber , \(x^n - a^n = (x-a) \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k} \cdot a^k\)(prova-se e por indução sobre n ).


Dica :

i) Note que \(D(x^3 - 8) = 3 x^2\) . Logo \(x^2 = \frac{D(x^3 -8)}{3}\) .

ii) O integrando é escrito como \(8 \frac{x^2}{x^3 - 8} + \frac{x+1}{(x-2)(x^2+2x+4)}\) .Pela linearidade da integral , podemos integrar cada parcela acima separadamente .

iii)Em relação a primeira integral ,sabemos calcular integrais da forma \(\int \frac{D(f(x))}{f(x)} dx\) , qual a resposta ? , quanto a segunda utilize frações parciais . Integrais da forma \(\int \frac{dx}{(ax+b)^m} dx\) e \(\int \frac{x dx}{(ax^2+ bx + c)^m} dx\) são mais simples de ser calculadas .

Tente fazer novamente .