Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Não consigo achar a resposta da integral a seguir:

Olá :D


\(\int \; \frac{1}{\sqrt{x^2+4x} } \;dx\)


\(\int \; \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+4-4} } \;dx\)


\(\int \; \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2-4} } \;dx\)


pode agora fazer a substituição \(u=x+2 \;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; du=dx\) :



\(\int \; \frac{1}{\sqrt{u^2-4}} \; du\)


\(\int \; \frac{1}{\sqrt{4\left( \frac{u^2}{4}-1\right)}} \; du\)


\(\frac{1}{2} \times \int \; \frac{1}{\sqrt{ \left(\frac{u}{2} \right)^2-1}} \; du\)



agora a outra substituição : \(sec \theta=\frac{u}{2} \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; du=2sec\theta*tg\theta \; d\theta\) .


\(\frac{1}{2} \times \int \; \frac{2sec\theta*tg\theta }{\sqrt{ sec^2\theta-1}} \; d\theta\)


\(\int \; \frac{sec\theta*tg\theta }{tg \theta} \; d\theta\)


\(\int \; sec\theta \; d\theta\)


pode consultar uma tabela de integral para verificar a integral da secante, ou se quiser eu demonstro como obter.


\(\int \; sec\theta \; d\theta=\ln \left|sec\theta+tg\theta \right|+C\)


Agora temos que voltar a variável "u" e depois retornar a variável inicial "x" :


\(\ln \left|sec\theta+\sqrt{sec^{2}\theta-1} \right|+C\)


\(\ln \left|\frac{u}{2}+\sqrt{\left( \frac{u}{2} \right)^{2}-1} \right|+C\)


\(\fbox{\fbox{\fbox{ \ln \left|\frac{x+2}{2}+\sqrt{\left( \frac{x+2}{2} \right)^{2}-1} \right|+C }}}\)