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Comecemos por tratar os casos "patológicos" que nos podem aborrecer mais tarde... Se b = 0 temos a função nula cuja primitiva é uma constante. Se a = 0 mas \(b \ne 0\) a função é simplesmente \(\sin bx\), cuja primitiva é \(-\frac 1b \cos bx\). vejamos agora os restantes casos, isto é, \(a,b \ne 0\).
\(\int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac 1a e^{ax} \sin bx - \int \frac 1a e^{ax} b \cos bx\, dx = \frac 1a e^{ax} \sin bx -\frac ba \left(\frac 1a e^{ax} \cos bx - \int \frac 1a e^{ax}(-b \sin bx)\, dx \right)=
\frac 1a e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a^2}e^{ax}\cos bx - \frac{b^2}{a^2} \int e^{ax} \sin bx \, dx\)
Assim, notando que no final aparece a mesma primitiva de onde partimos, podemos dizer que
\((1+\frac{b^2}{a^2}) \int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac 1a e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a^2}e^{ax}\cos bx \Leftrightarrow
\int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac{1}{1+\frac{b^2}{a^2}}\left(\frac 1a e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a^2}e^{ax}\cos bx\right) + C = \frac{a^2 e^{ax}}{a^2+b^2}(\frac 1a \sin bx -\frac{b}{a^2}\cos bx) + C
=\frac{1}{a^2+b^2} \cdot e^{ax} \cdot (a \sin bx - b \cos bx) + C\)
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