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Determine as derivadas parciais com relação as variáveis x e y da função

\(f(x,y))=\int_{y}^{x} e^tdt/t\)

Tem que usar o teorema fundamental do cálculo integral.

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x} \int_{y}^{x} \frac{e^t}{t}dt=\frac{e^x}{x}\)

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y} \int_{y}^{x} \frac{e^t}{t}dt=-\frac{e^y}{y}\)

Em primeiro lugar devemos observar que o domínio da função é \(D=\{(x,y): xy > 0\}\), já que de outro modo obtemos um integral impróprio divergente. Nesse domínio de definição, usando o teorema fundamental do cálculo, temos

\(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{e^x}{x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{e^y}{y}\)