Não faço ideia de como começar essa questão!
\(\int \frac{e^{sen(x)}cos(x)}{e^{2sen(x)}-4e^{sen(x)}+3} dx\)
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| Autor: | jenna [ 29 jan 2015, 21:08 ] |
| Título da Pergunta: | Integral envolvendo divisão, "e", seno e cosseno! |
Não faço ideia de como começar essa questão! \(\int \frac{e^{sen(x)}cos(x)}{e^{2sen(x)}-4e^{sen(x)}+3} dx\) |
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| Autor: | Baltuilhe [ 29 jan 2015, 21:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral envolvendo divisão, "e", seno e cosseno! [resolvida] |
Boa tarde! Fazendo a substituição: \(u=e^{sen(x)}\) Derivando: \(\frac{du}{dx}=e^{sen(x)} cos(x) du = e^{sen(x)} cos(x) dx\) Agora, substituindo na integral: \(\int \frac{e^{sen(x)}cos(x)}{e^{2sen(x)}-4e^{sen(x)}+3} dx= \int \frac{du}{u^2-4u+3}= \int \frac{du}{(u-1)(u-3)}\) Agora, integração por frações parciais: \(\frac{1}{(u-1)(u-3)} = \frac{A}{u-1}+\frac{B}{u-3} \frac{1}{(u-1)(u-3)} = \frac{A(u-3)+B(u-1)}{(u-1)(u-3)} 1=A(u-3)+B(u-1)\) Substituindo u por 3 e depois por 1, teremos: \(1=A(3-3)+B(3-1) 1=B(2) B=\frac{1}{2}\) e \(1=A(1-3)+B(1-1) 1=A(-2) A=-\frac{1}{2}\) Voltando para a integral: \(\int \frac{du}{(u-1)(u-3)}= \int \left (\frac{-1/2}{u-1} + \frac{1/2}{u-3} \right )du -\frac{1}{2}\int \frac {1}{u-1} du + \frac{1}{2}\int \frac {1}{u-3} du -\frac{1}{2} \ln|u-1|+\frac{1}{2} \ln|u-3| -\frac{1}{2} \ln|e^{sen(x)}-1|+\frac{1}{2} \ln|e^{sen(x)}-3|+K\) Espero ter ajudado! |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 29 jan 2015, 21:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral envolvendo divisão, "e", seno e cosseno! |
já experimentou a substituição \(e^{sen(x)}=t\) ? \(sen(x)=log(t)\) \(x=arcsen(log(t))\) \(\frac{dx}{dt}=\frac{1/t}{\sqrt{1-log^2 t}}\) sabe-se ainda que \(cos(x)=\sqrt{1-sen^2(x)}\) \(cos(x)=\sqrt{1-log^2(t)}\) juntando tudo \(\int \frac{e^{sen(x)}cos(x)}{e^{2sen(x)}-4e^{sen(x)}+3} dx=\) \(=\int \frac{t.\sqrt{1-log^2(t)}}{t^2-4t+3} \frac{1/t}{\sqrt{1-log^2 t}}dt=\) avance... |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 29 jan 2015, 21:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral envolvendo divisão, "e", seno e cosseno! |
Muito obrigado caro Baltuilhe  boas contribuições abraço |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 29 jan 2015, 21:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral envolvendo divisão, "e", seno e cosseno! |
\(\int \frac{e^{sen(x)}cos(x)}{e^{2sen(x)}-4e^{sen(x)}+3} dx =\int \frac{e^u\cos x}{e^{2u}-4e^u+3}\frac{1}{\cos x}du=\int \frac{e^u}{e^{2u}-4e^u+3}du =\int \frac{v}{e^{2u}-4v+3}\frac{1}{v}\: dv=\int \frac{1}{e^{2u}-4v+3}\: dv =\int \frac{1}{e^{2\ln (v)}-4v+3}\: dv =\int \frac{1}{v^2-4v+3}dv=\int \frac{1}{(v-2)^2-1}dv =\int \frac{1}{w^2-1}\times 1\: dw=\int \frac{1}{(-1)(-w^2+1)}dw =-\int \frac{1}{-w^2+1}\: dw=-\tanh^{-1}(w) =-\tanh^{-1}\left (e^{\sin x}-2 \right )=\tanh^{-1}\left (2-e^{\sin x} \right )\) Junta-se uma constante e tem-se a solução. |
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| Autor: | jenna [ 29 jan 2015, 21:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral envolvendo divisão, "e", seno e cosseno! |
Muito obrigada pelas respostas de vocês, Baltuilhe, João e Pedro!
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