Alguém consegue resolver isso: ∫sen(mt)sen(nt) dt de -pi a pi ??
No final deve dar pi para m=n e 0 para m!=n
ajuda?
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| Resolver ∫sen(mt)sen(nt) dt de -pi a pi https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=820 |
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| Autor: | bianorz [ 21 set 2012, 05:27 ] |
| Título da Pergunta: | Resolver ∫sen(mt)sen(nt) dt de -pi a pi |
Alguém consegue resolver isso: ∫sen(mt)sen(nt) dt de -pi a pi ?? No final deve dar pi para m=n e 0 para m!=n ajuda?
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| Autor: | Rui Carpentier [ 21 set 2012, 15:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolver ∫sen(mt)sen(nt) dt de -pi a pi |
Usando integração por partes, temos que: \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=\left[-\frac{\cos(mt)}{m}\sin(nt)\right]_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\frac{n}{m}\cos(mt)\cos(nt)dt=\frac{n}{m}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mt)\cos(nt)dt\) Integrando novamente por partes: \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=\frac{n}{m}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mt)\cos(nt)dt=\frac{n}{m}\left\{\left[\frac{\sin(mt)}{m}\cos(nt)\right]_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{n}{m}\sin(mt)\sin(nt)dt\right\}=-\frac{n^2}{m^2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt\) Daqui deduz-se que: \(\left(1-\frac{n^2}{m^2}\right)\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\) Pelo que, se \(m\not= n\), temos que \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\). Se \(m=n\) entâo na primeira integração por partes temos: \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(mt)dt=\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mt)\cos(mt)dt\) Assim, \(2\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(mt)dt=\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(mt)dt+\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mt)\cos(mt)dt=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(mt)+\cos^2(mt)dt=\int_{-\pi}^{\pi}1dt=2\pi\) Logo \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(mt)dt=\pi\). |
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| Autor: | bianorz [ 21 set 2012, 17:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolver ∫sen(mt)sen(nt) dt de -pi a pi |
Rui Carpentier Escreveu: Usando integração por partes, temos que: Daqui deduz-se que: \(\left(1-\frac{n^2}{m^2}\right)\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\) Pelo que, se \(m\not= n\), temos que \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\). Entendi quase tudo, o senhor poderia explicar melhor essa dedução acima? Eu não to conseguindo visualiza-lá, tipo, da onde veio esse 1 ae de cima e como isso dá 0? Obg |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 22 set 2012, 12:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolver ∫sen(mt)sen(nt) dt de -pi a pi |
Citar: Integrando novamente por partes: \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=\frac{n}{m}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mt)\cos(nt)dt=\frac{n}{m}\left\{\left[\frac{\sin(mt)}{m}\cos(nt)\right]_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{n}{m}\sin(mt)\sin(nt)dt\right\}=-\frac{n^2}{m^2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt\) aqui enganei-me nos sinais como a derivada de coseno é menos seno o correto seria: \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=\frac{n}{m}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mt)\cos(nt)dt=\frac{n}{m}\left\{\left[\frac{\sin(mt)}{m}\cos(nt)\right]_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\frac{n}{m}\sin(mt)\sin(nt)dt\right\}=\frac{n^2}{m^2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt\) Donde se tira que: \(\left(1-\frac{n^2}{m^2}\right)\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\) (note-se que se tivermos uma equação do tipo \(x=ax\) esta é equivalente a \(x-ax=0\) que é equivalente a \((1-a)x=0\).) Portanto \(1-\frac{n^2}{m^2}=0\) ou \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\). Se \(n\not=m\) então \(1-\frac{n^2}{m^2}\not=0\) logo \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\). |
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| Autor: | bianorz [ 22 set 2012, 22:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolver ∫sen(mt)sen(nt) dt de -pi a pi |
Ahh, entendi perfeitamente. Tanta coisa nova que eu acabo esquecendo das mais simples. xD Muito obrigado pela explicação Rui Carpentier o/ Vlws |
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