Fórum de Matemática
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Calcule \(F(x) = \int x^n \cdot ln (2x) \, dx\), para \(n \neq - 1\) sendo \(x > 0\)

Por partes: \(\int u v'= u v - \int u' v\) com \(u'=x^n\) e \(v=\ln(2x)\).

Sendo \(u=\frac{x^{n+1}}{n+1}\) e \(v'=\frac{1}{x}\), temos então,

\(\int x^n \ln(2x) dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln(2x)-\int \frac{x^{n+1}}{n+1}\frac{1}{x}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln(2x)-\int \frac{x^{n}}{n+1}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln(2x)-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}\).